Exercice 2 (feuille limite) :
a)
n3 − 2n2 + 5 = n3 × 1 −

5
2
+ 3 n n

Or : lim 1 −

n→+∞

2
5
+ 3 =1 n n

lim n3 = +∞

n→+∞

Donc par produit : lim n3 − 2n2 + 5 = +∞

n→+∞

b) n2 × (−1 + 15
−
−n2 + 15n − 2 n =
2
25n + 2 n × (25 + n )
=

− n2 −1 + 15 n × n 25 + n2

=n×

−1 + 15
−
n
25 + n2

2
)
n2
2
n2

2 n2 Or : lim −1 +

n→+∞

15
2
− 2 = −1 n n

lim 25 +

n→+∞

2
= 25 n Donc par quotient,
−1 + 15
−
n n→+∞ 25 + n2 lim 2 n2 =−

1
25

Et par ailleurs, lim n = +∞

n→+∞

Donc par produit :
−n2 + 15n − 2
= −∞ n→+∞ 25n + 2 lim c) n3 × (−2 + n2 + n42 − n33 )
−2n3 + 2n2 + 4n − 3
=
−n3 − 5n2 + 2 n3 × (−1 − n5 + n23 ) n3 −2 + n2 + n42 −
= 3× n −1 − n5 + n23
−2 + n2 + n42 −
=
−1 − n5 + n23

3 n3 3 n3 Or : lim −2 +

n→+∞

2
4
3
+ 2 − 3 = −2 n n n lim −1 −

n→+∞

1

5
2
+ 3 = −1 n n

Donc par quotient,
−2n3 + 2n2 + 4n − 3
=2
n→+∞
−n3 − 5n2 + 2 lim d)
√

2n + 1 −

√

2n − 1 =
=
=
=

√
√
√
√
( 2n + 1 − 2n − 1) × ( 2n + 1 + 2n − 1
√
√
2n + 1 + 2n − 1
( (2n + 1))2 − ( (2n − 1))2
√
√
2n + 1 + 2n − 1
2n + 1 − (2n − 1)
√
√
2n + 1 + 2n − 1
2
√
√
2n + 1 + 2n − 1

Or : lim n→+∞

√

2n + 1 = +∞

Donc par somme, lim n→+∞

lim

√

n→+∞

√
√
2n + 1 + 2n − 1 = +∞

Et par quotient, lim √

n→+∞

Donc : lim 2n − 1 = +∞

n→+∞

√

2
√
=0
2n + 1 + 2n − 1

2n + 1 −

√

2n − 1 = 0

Exercice 4 (feuille 4) :
1.
Pn : un ≤ 2
Initialisation : u0 = 3 donc u0 ≥ 2
P0 est vraie.

2

Hérédité : On suppose que Pn est vraie. un ≥ 2 un + 2 ≥ 4
1
1
≤
un + 2
4
4
1
≤4× un + 2
4
4
≥ −1
−
un + 2
4
3−
≥3−1
un + 2 un+1 ≥ 2
Donc Pn+1 est vraie.
On a donc montré par récurrence que (un ) est minorée par 2.
2.
Pn : un+1 ≤ un
Initialisation : u0 = 3 u1 = 3 −

4
4
= 3 − = 2, 8
3+2
5

On a bien u1 ≤ u0 donc P0 est vraie.
Hérédité : On suppose que Pn est vraie. un+1 ≤ un un+1 + 2 ≤ un + 2
1
1
≥
un+1 + 2 un + 2
4
4
≥
un+1 + 2 un+1 + 2
4
4
−
≤− un+1 + 2 un + 2
4
4
3−
≤3− un+1 + 2 un + 2 un+2 ≤ un+1
Donc Pn+1 est vraie.
On a donc montré par récurrence que (un ) est décroissante.
3

3. (a) (un ) est décroissante et