Fiche Exercices

Nº : 32002

MATHEMATIQUES

Série S

LE TALENT C’EST D’AVOIR ENVIE

Fiche 2 : Les fonctions
Calculer des limites
Méthode :
On commence par analyser f (x). Peut on directement appliquer l’un des théorèmes du cours (limites et opérations, théorèmes de comparaison) ?
Dans la négative, il est nécessaire de donner à f (x) une nouvelle expression relevant de ces théorèmes. Cette nouvelle expression peut être obtenue en imposant à la variable une condition compatible avec la recherche de la limite : condition du type x > x 0 pour une étude en + ∞, condition du type x < x 0 pour une étude en − ∞, condition du type |x| < α pour une étude en zéro . . .
On doit distinguer soigneusement la phase « recherche d’une expression convenable de f (x) » de la phase « passage à la limite » : les enchaînements du genre lim f ( x ) = lim g ( x ) = ... sont prohibés car l’égalité xlima f ( x ) = xlima g ( x ) n’a de sens que lorsque l’on
→
→ x →a

x →a

lim a précédemment établi qu’il existe  tel que xlima f ( x ) =  et x → a g ( x ) =  .
→
Dans les cas où x tend vers + ∞ ou − ∞, mettre en facteur les termes « les plus puissants » est toujours pertinent.

Exercice 1
Déterminer le comportement asymptotique de la fonction f en a dans les cas suivants :
a) f (x) = 4 x 3 si n 2 x − x + 5 pour tout x et a = + ∞ ;
b) f (x) =

x 2 −1+ x pour x ≥ 0 et a = + ∞ ;
2 x 2 − x +1

c) f (x) =

x 2 + 2 x + 5 + x pour tout x et a = − ∞ ;

d) f (x) =

2 x 2 + x + 5 − x pour tout x et a = + ∞ ;

e) f (x) =

2 c os 2 x −1 π π pour x ≠ et a = .
6x −π
6
6

Montrer qu’une droite est une asymptote oblique
Méthode :
Selon le programme, l’équation de l’asymptote doit être donnée ou au moins suggérée. On se trouve alors face à l’étude d’une forme indéterminée du type « + ∞ − ∞ ».
Ne pas oublier que lim ( f ( x ) − a x ) = b équivaut à x lim∞ ( f ( x ) − (a x + b )) = 0 , avec a et b réels . . .
→+
x → +∞

Exercice 2
On considère