Définition de la fonction dérivée Soitun intervalle de et soit f une fonction définie sur .
On dit que la fonction f est dérivable sur si elle est dérivable en tout nombre réel de .

Dans ce cas, la fonction qui à tout associe le nombre dérivé de f en s’appelle la fonction dérivée de f.

On la note :

Exemple Soit f la fonction définie sur par : Soit On a :

Lorsque h tend vers 0, tend vers donc

La fonction f est donc dérivable en , pour tout et on a :

La fonction

est la fonction dérivée de la fonction f.

Dérivée des fonctions usuelles

Dérivée seconde

Remarque Remarque : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle et soit sa dérivée.
Si la fonction est elle-même dérivable, on note ou sa dérivée et on l’appelle dérivée seconde de .

Exemple Soit f la fonction définie sur par
Nous avons vu tout à l’heure que f est dérivable sur et que, pour tout nombre réel , on a

La fonction est elle-même dérivable sur .
En effet, pour tout , on a :

Opérations sur les fonctions Nous allons voir maintenant quelques propriétés qui permettent de calculer la dérivée d’une fonction à partir des dérivées des fonctions usuelles.

Somme de fonctions

Propriété

Soient n et v deux fonctions dérivables sur un intervalle . Alors la fonction est dérivable sur et ,
C’est-à-dire pour tout

Démonstration

Exemple

Soit f la fonction définie sur [0, [ par .
On a pour tout [0,[

où et

La fonction u est dérivable sur et la fonction v est dérivable sur ]0,[ donc la fonction f est dérivable sur
]0,[ et

Produit d’une fonction par un nombre réel

Propriété

Soit une fonction dérivable