Devoir de contrôle n° 1

Lycée Tahar Sfar Mahdia

Classe : 3

ème

Sc exp1

Mathématiques

Date : 10 /11 / 2009

Prof : MEDDEB Tarak

Durée : 2 heures

NB : il sera tenu compte du soin apporté à la rédaction et à la présentation.

Exercice n°1 :

(10 pts)

Soit ABC un triangle isocèle de sommet principale A. on note I le milieu de 𝐵𝐶 et H le projeté orthogonal de I sur 𝐴𝐶 .
1) Montrer que : 𝐴𝐼 . 𝐵𝐻 = 𝐴𝐼 . 𝐶𝐻 .
2) Montrer que : 𝐴𝐻 . 𝐻𝐵 + 𝐻𝐶 = 0. En déduire que : 𝐴𝐻 . 𝐵𝐻 = 𝐴𝐻 . 𝐻𝐶 .
3) A l’aide des résultats précédents, démontrer que : 𝐴𝐼 + 𝐴𝐻 . 𝐵𝐻 = 0.
4) Soit J le milieu de 𝐼𝐻 . Montrer que 𝐴𝐽 et 𝐵𝐻 sont perpendiculaires.
5) On suppose par la suite que : 𝐴𝐵 = 5 et 𝐵𝐶 = 6. a/ Calculer 𝐴𝐼. b/ Montrer que : 𝐴𝐵 . 𝐴𝐶 = 7.
6) Soit G le barycentre des points pondérés 𝐴, 1 , 𝐼, 3 . Construire G.
7) Soit l’application : 𝑓: 𝑃 → 𝐼𝑅
2

𝑀 → 𝑓 𝑀 = 𝑀𝐵 . 𝑀𝐶 − 𝐴𝐺 . 𝑀𝐺 .
3

a/ Calculer 𝑓(𝐴) et 𝑓 𝐺 . b/ Montrer que, pour tout point M du plan, on a : 𝑓 𝑀 = 𝑀𝐺 2 + 𝑓 𝐺 . c/ Déterminer et construire l’ensemble C = 𝑀 ∈ 𝑃 𝑡𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑓 𝑀 = 1 .

Exercice n°2 :

(4 pts)

Soit 𝑓 la fonction définie sur IR par : 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 − 3𝑥 + 3.
On admet que les variations de 𝑓 sur l’intervalle −3 , 2 sont données par le tableau suivant :
𝑥 −3
𝑓 𝑥

−1

1

2

5
-15

5
1

1) Déterminer, en utilisant le tableau : a/ 𝑓 −3 , 1 , 𝑓 −1 , 2 . b/ Le nombre de solutions de chacune des équations : 𝑓 𝑥 = 3 , 𝑓 𝑥 = 0.

1

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2) On note 𝛼 la solution de l’équation :𝑓 𝑥 = 0. Donner un encadrement de 𝛼 d’amplitude 0,5.

Exercice n°3 :

(6 pts)
𝑥 2 −3𝑥+2

Soit 𝑓 la fonction définie sur IR\ 2 par : 𝑓 𝑥 =

𝑥 2 −7𝑥+10
3− 2𝑥+5
𝑥−2

1) Calculer : lim𝑥→2− 𝑓(𝑥).
2) a/ Montrer que, pour tout 𝑥 > 2, 𝑓 𝑥 =

−2
3+ 2𝑥+5

𝑠𝑖 𝑥 < 2
𝑠𝑖 𝑥 > 2

.

b/ Calculer : lim𝑥→2+ 𝑓(𝑥).
3) la fonction 𝑓