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Les nombres complexes
Equations du second degr´ e
Ce cours porte exclusivement sur la r´solution des ´quations du second e e degr´ relatives aux nombres complexes. e

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L’id´e g´n´rale e e e

Les nombres complexes ne sont pas forc´ment r´els au sens o` ils peuvent e e u poss´der une partie imaginaire. Cette partie imaginaire permet d’envisager e par exemple l’´criture de la racine carr´e d’un nombre n´gatif, ou mˆme la e e e e r´solution d’une ´quation du second degr´ dont le discriminant est n´gatif. e e e e

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2.1

La th´orie e
La r´solution e

Soit l’´quation du second degr´ ax2 + bx + c = 0, o` a ∈ R , b ∈ R et e e u c ∈ R. La r´solution de cette ´quation d´pend du signe de son discriminant e e e ∆: – lorsque ∆ = 0, l’´quation a une unique racine r´elle (dite double) e e b − ; 2a – lorsque ∆ > 0, l’´quation a deux racines r´elles e e √ √ −b − ∆ −b + ∆ x1 = et x2 = . 2a 2a – lorsque ∆ < 0, l’´quation n’a aucune racine r´elle, mais admet deux e e racines complexes conjugu´es e −b + i |∆| −b − i |∆| et z2 = . z1 = 2a 2a

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Attention !

Il ne faut pas appliquer directement les formules de r´solution avant d’obe server l’´quation du second degr´ consid´r´e car son expression peut parfois e e ee ˆtre simplifi´e, ce qui all`ge consid´rablement les calculs. e e e e

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Les astuces

Lorsqu’une ´quation du second degr´ admet deux racines complexes, les e e deux racines sont conjugu´es. e

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5.1

Exercices pratiques
Exercice 1
R´soudre l’´quation du second degr´ 2x2 − 3x + 2 = 0. e e e

Avant de r´soudre l’´quation, il faut s’interroger sur d’´ventuelles simplie e e fications de l’´quation consid´r´e. Ici, l’expression de l’´quation ne peut pas e ee e ˆtre simplifi´e. e e La m´thode consiste a calculer le discriminant ∆ de l’´quation, puis a envie ` e ` sager les racines en fonction de son signe. ∆ = b2 − 4ac ∆ = (−3)2 − 4 × 2 × 2 ∆ = 9 − 16 √ ∆ = −7 =