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Divisibilité dans ‫ޚ‬
Congruences

On a choisi de traiter la partie arithmétique en trois chapitres.
Dans chacun de ces trois chapitres, on insiste particulièrement sur les démonstrations exigibles au baccalauréat. Ainsi, de nombreux exercices sont consacrés à l’épreuve de restitution organisée de connaissances.
Dans le premier paragraphe de ce chapitre, on introduit la notion de diviseur et de multiple ainsi que les propriétés liées à ces notions.
Dans le deuxième paragraphe, on définit la division euclidienne dans ‫ ,ގ‬puis la division euclidienne dans ‫ ,ޚ‬en se limitant, conformément au programme, au cas d’un diviseur positif.
Dans le troisième paragraphe, on aborde les congruences en développant les démonstrations. Corrigés des activités préparatoires
ACTIVITÉ 1
Objectif
Revoir la notion de diviseur

1) N = a × 10 3 + b × 10 2 + c × 10 + d .
2) a) N′ = d × 10 3 + c × 10 2 + b × 10 + a.
b) N – N′ = a ( 10 3 – 1 ) + b ( 10 2 – 10 )
+ c ( 10 – 10 2 ) + d ( 1 – 10 3 )
= a × 999 + b × 90 + c ( – 90 ) + d ( – 999 )
= 9 × ( 111a + 10b – 10c – 111 ).
Donc N – N′ est divisible par 9.
c) N + N′ = a ( 10 3 + 1 ) + b ( 10 2 + 10 ) + c ( 10 + 10 2 )
+ d ( 1 + 10 3 )
= 11 ( 91a + 10b + 10c + 91d ).
Donc N + N′ est divisible par 11.
3) N – N′ = a × 10 2 + b × 10 + c – c × 10 2 – b × 10 – a
= a × 99 + c × ( – 99 ) .
Donc N – N′ est divisible par 9 et par 11.

ACTIVITÉ 2
Objectifs
– Revoir la notion de division euclidienne.
– Introduire la notion de congruence.

1) 1 728 est divisible par 4, mais pas par 100 ; donc 1728 était bissextile.
1 800 est divisible par 4 et par 100 mais pas par
400 ; donc 1800 n’était pas bissextile.
1 830 n’est pas divisible par 4, donc 1830 n’était pas bissextile.
1 996 est divisible par 4 mais pas par 100 ; donc
1996 était bissextile.
2 000 est divisible par 4, par 100 et par 400 ; donc
2000 était bissextile.
2 024 est divisible par 4, mais pas par 100 ; donc
2024 sera bissextile.
2) 58 = 8 × 7