MOCA B1

ED N° 1

THEORIE DES GRAPHES
NOTIONS DE BASE

I) Soit le graphe

A

B

F E II)

C

1) Donner G + (A ), G + (B), G - (A ), G - (B). 2) Donner les demi-degrés intérieurs et extérieurs des sommets A et B. Donner les entrée(s) et les sortie(s) de G. 3) Donner un exemple de chemin simple mais non élémentaire. 4) Existe-t-il un circuit hamiltonien dans G ? 5) G est-il fortement connexe ? Justifiez votre réponse.

D A B C D E

Soit la matrice M binaire associé au graphe G :

È0 Í0 Í Í0 Í Í0 Í0 Î

1 0 0 0 0

0 1 0 1 0

1 0 0 0 0

0˘ A 0˙ B ˙ 1˙ C = M ˙ 1˙ D 0˙ E ˚

a) Tracer le graphe représentatif de cette matrice. b) Donner la matrice d'incidence de ce graphe. c) Calculer M2, M3, M4. Discuter la signification des coefficients non nuls de la matrice; d) Calculez les puissances booléennes de M : M[2], M[3], M[4]. Que pouvez vous en dire ?

& & e) Calculez ; A = I + M + M

[2]

& & + M [3] + M

[4]

(somme booléenne). Interpréter A.

III) Soit le schéma du circuit de train électrique de Laurent. Chaque aiguillage a deux positions possibles. Laurent a remarqué qu'au bout d'un certain temps, quelle que soit la position initiale du train, il n'emprunte jamais la partie E. (Le train n'utilise que la marche avant) Pouvez-vous, à l'aide d'un graphe à 10 sommets, expliquez pourquoi? Qu'arrive-t-il si on ajoute le tronçon F symétrique de E ? A B C D

E IV On appelle "graphe réduit" d'un graphe orienté G ayant m composantes fortement connexes : C1…Cm ; le graphe G' qui a m sommets x1…xm, tel qu'il existe un arc de xi vers xj dans G', s'il existe un sommet x dans Ci , un sommet y dans Cj et un arc (x, y) dans G. Montrer que le graphe réduit G' d'un graphe orienté G est sans circuit. Déterminer G' pour le graphe orienté G suivant : j b e a c f l

k g h

d

Chaire de R.O.

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MOCA B1
REPRESENTATION D'UN GRAPHE Soit le graphe G

ED N° 1

A

B

Représenter ce graphe sous forme : a) matricielle b) de