cours de mathématiques en terminale
.

Le produit scalaire
I. Différentes expressions du produit scalaire :
1. Vecteurs colinéaires :
Définition : soient deux vecteurs colinéaires non nuls, tels que

et et • Si

et

• Si

et

• Si

.

sont de même sens :

.

sont de sens contraires : ou •

alors

.

.

est le carré scalaire du vecteur

2. Vecteurs quelconques : Propriété 1 :
Soient

et et deux vecteurs non nuls tels que
.

Alors :
.
A' et B' sont respectivement les projetés orthogonaux de A sur (OB) et de B sur (OA).

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3. Propriétés : Propriété 2 :
Soient (x;y) et (x';y') les coordonnées respectives des vecteurs quelconque. et

dans un repere orthonormé

.
II. Produit scalaire et orthogonalité : Définition :
Dire que
• Soit

et sont deux vecteurs orthogonaux signifie que : ou ;
• Soit (OA) (OB), avec et non nuls.

2. Propriété : Propriété :
.
III. Propriétés du produit scalaire : Propriétés : Propriétés :
Soient
•
•

trois vecteurs et k un nombre réel.
(symétrie).
(linéarité)

•

(linéarité)

•

(linéarité)

•

(identite remarquable)

•

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(identite remarquable)
•

(identite remarquable)

IV. Applications du produit scalaire : 1. produit scalaire et cosinus : Propriété :
Soit

et

non nuls.

2. Théorème d'Al-Kashi : Théorème :
Soit ABC un triangle tel que AB=c, AC=b et BC=a.
On a :
•
•
•

3. Théorème de la médiane : Théorème :
Soient A et B deux points distincts et I le milieu du segment [AB] .
Pour tout point M, :

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