D Evolution temporelle des systèmes mécaniques

1 La mécanique de Newton

Le vecteur vitesse

Définissons rigoureusement le vecteur vitesse instantanée

Dans le repère (O, [pic], [pic], [pic]) lié au référentiel d’étude, un point M est repéré par le vecteur position [pic]. Le point M est en mouvement par rapport au référentiel et donc [pic]est une fonction du temps. L’utilisation du vecteur position [pic] permet d’écrire :
[pic] (cf. cours 1ère S)
[pic] représente la vitesse pour un intervalle de temps (t petit. Le passage à la limite nous permet de définir la vitesse instantanée :
[pic]
Le vecteur vitesse instantanée est donc la dérivée par rapport au temps du vecteur position [pic].

Le vecteur vitesse instantanée a les caractéristiques suivantes :

- direction : la tangente à la trajectoire au point occupé par M à la date t
- sens : celui du mouvement à cet instant
- norme : la valeur positive [pic]

Les coordonnées du vecteur vitesse dans le repère (O, [pic], [pic], [pic]) sont :
[pic]

Deuxième loi de Newton (aspect semi quantitatif)

Un rappel du cours de 1S

Dans un référentiel galiléen, si le vecteur vitesse du centre d'inertie varie, la somme des forces qui s'exercent sur le solide n'est pas nulle.
La variation, entre deux instants, du vecteur vitesse et la résultante des forces, appliquées entre ces deux instants, ont la même direction et le même sens :

[pic] (cf. cours 1ère S)

Accélération du centre d’inertie

Définissons rigoureusement l'accélération

On filme le lancer d’une bille dans l’air. A l’aide d’un logiciel, on pointe sur chaque image la position du centre de la bille. L’échelle étant définie, le logiciel calcule les vitesses instantanées et dessine les vecteurs correspondants.

Le poids est la seule force qui s’exerce sur la bille : [pic]. On constate sur la figure ci-dessus que les vecteurs [pic]et les [pic]ont même direction, même sens et des valeurs proportionnelles :

[pic].
Les mesures étant