´ Exercices - Residus - Application au calcul ´ d’integrales : ´nonc´ e e
Exercice 1 - Calculs de r´sidus - L3/M1 e
Calculer les r´sidus aux singularit´s isol´es des fonctions suivantes : e e e f (z) = z2 + z + 1 , z(z 2 + 1)2 g(z) = za , 1−z h(z) = log(z). sin 1 . z−1

On prendra la d´termination principale des fonctions z → z a et z → log(z). e

Exercice 2 - Fraction rationnelle - L3/M1 +∞ dx e 1. Soit n ≥ 2 entier. Calculer I = 0 1+xn . On pourra int´grer sur le bord du compact iθ ; 0 ≤ ρ ≤ R et 0 ≤ θ ≤ 2π/n}. K = {ρe +∞ x 2. Soient n un entier et α un r´el tel que n > α+1 > 0. Calculer l’int´grale J = 0 1+xn dx. e e On pourra int´grer sur le bord du compact L = {ρeiθ ; r ≤ ρ ≤ R et 0 ≤ θ ≤ 2π/n}. e α Exercice 3 - Fractions rationnelles, en toute g´n´ralit´ - L3/M1 e e e
Soient P, Q ∈ R[X]\{0}, tels que deg(P ) ≤ deg(Q) − 2 et P et Q sont premier entre eux. On suppose que Q n’a pas de z´ros r´els, et on note a1 , . . . , ar ses z´ros de partie imaginaire e e e strictement positive. Prouver que
+∞ −∞ r P (x) P dx = 2iπ Res , ak . Q(x) Q k=1 +∞ −∞

En d´duire la valeur de e

x(x + 1) dx. (x2 + 1)2

Exercice 4 - Int´grale de Fourier - L3/M1 e
Soit F = P/Q une fraction rationnelle o` P et Q sont deux polynˆmes premiers entre eux u o tels que deg(P ) ≤ deg(Q) − 1 et Q n’a pas de racines r´elles. e 1. Justifier la convergence de
+∞ P (x) ix −∞ Q(x) e dx.

2. On note γR le demi-cercle de centre O et de rayon R > 0 situ´ dans le demi-plan { m(z) > e 0}, orient´ positivement. e (a) En utilisant (apr`s l’avoir justifi´e) l’in´galit´ sin t ≥ e e e e d´montrer que e π 2 π t,

valide pour t ∈ [0, π/2],

e−r sin t rdt ≤ π. = 0.

0

(b) En d´duire que limR→+∞ e

P (z) iz γR Q(z) e dz

P (z) 3. On pose f (z) = Q(z) eiz et on note a1 , . . . , ap les pˆles de f de partie imaginaire strictement o positive. D´duire de la question pr´c´dente que e e e +∞ −∞

P (x) ix e dx = 2iπ Res(f, ak ). Q(x) k=1

p

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