Série De Revision
Parti I
Exercice 1: Soit f la fonction définie par 𝑓(𝑥) =

1
√−x²+4x−3

1. Déterminer Df , le domaine de définition de f.
3

2. Calculer l’intégral ∫2 fx. dx

Aide : On pourra écrire –x²+4x-3 sous forme canonique puis faire un changement de variable.

∫

Exercice 2 : Calculer la primitive

3x4 +2x²+1 x3 (x2 +1)²

dx

k4

Exercice 3 : Calculer limn→∞ ∑n k=1 n5
Exercice 4 : Soit φ la fonction définie sur ℝ par φ(x) = b Montrer que ∀(a, b) ∈ ℝ , on a : ∫a e−t² dt =

√π
2

2

x

∫ e−t² dt
√π 0

(φ(b) − φ(0).

2

Montrer que f(x) = ex ,est solution de l’équation différentielle y ′ = 2xy +

2
√π

Exercice 5 : Soient 𝑓 et 𝑔 deux fonction continues sur [𝑎, 𝑏] ⊂ ℝ est dérivable sur ]𝑎, 𝑏[ .
1) Montrer qu’il existe 𝑐 ∈ ]𝑎, 𝑏[ tel que 𝑓 ′ (𝑐)(𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑎)) = 𝑔′ (𝑐)(𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎))

Aide : Considérer ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥)(𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑎)) − 𝑔(𝑥)(𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)) et montrer qu’il existe 𝑐 ∈ ]𝑎, 𝑏[ tel que h′ (c) = 0.
2) On suppose que ne s’annule pas sur ]a, b[ Montrer qu’il existe x0 ∈ ]a, b[ tel que : b b

f(x0 ) ∫a g(x)dx = ∫a f(x)g(x)dx
Aide : Appliquer le résultat de la question précédente aux fonctions b b

F(x) = ∫a f(t)g(t)dt et G(t) = ∫a g(t)dt
−𝜋 𝜋

Exercice 6 : Résoudre sur 𝐼 = ] 2 , 2 [ l’équation différentielle
(𝐸): 𝑦 ′ − 𝑡𝑎𝑛(𝑥)𝑦 =

1
1 + cos 𝑥

Exercice 7 : Résoudre l’équation différentielle
(𝐸): 𝑦 ′′ − 2𝑦 ′ + 𝑦 = 𝑒 𝑥 sin(2𝑥) +cos(𝑥)

Solutions
Exercice 1 :
1. Domaine de définition :
On a : −x 2 + 2x − 1 = −(x 2 − 2x + 1) + 2(x − 1) = (x − 1)(3 − x)
Donc : x ∈ Df ⟺ {x ∈ ℝ/(x − 1)(3 − x) > 0} x -∞
1
3
+∞
x-1
+
+
3-x
+
+
(x-1)(3-x)
+
Alors : Df = ]1,3[
2. fx =

1
√−x2 +4x−3

=

1
√(x−1)(3−x)

Posons : u = x − 1 donc 3 − x = 2 − u et dx = du
On a

:

3

2

∫2 fxdx = ∫1

du
√u(2−u)

Posons : y = √u(2 − u) donc y² = u(2 − u) = 2u − u² = 1 − (u − 1)² π On utilise le changement de variable défini par : u − 1 = sin(t) donc du = cos(t) dt avec, t ∈ [0, 2 ]
Et y² = 1 − (u − 1)2 = 1 − sin2 (t) = cos²(t)
3

2

Enfin :