Equazione della retta tangente ad una circonferenza, dato il punto di tangenza
Conica: qualunque figura generata dall’intersezione di un cono e un piano.
Formule di sdoppiamento valide per tutte le coniche: x2 x0 x y2 y0 y x x0+x2 y y0+y2 xy x0y + y0x * Equazione circonferenza x2+y2 +ax+by+c=0 * Il punto P₀ (x₀y₀) ∈ alla C
Sostituendo all’equazione generale della circonferenza le formule prima individuate: x0 x + y0 y + a x0+x2 + b y0+y2 + c = 0

Sottraendo membro a membro l’equazione generale della circonferenza con l’equazione della circonferenza passante per P si avrà che:
Eq. Circonferenza: x2+y2 +ax+by+c=0
P₀∈ C : x02+y₀2 +ax₀+by₀+c=0 x2-x02+ y2 -y₀2 + ax-ax0+by₀- b=0

Si scompongono i quadrati e si raccolgono le a e le b x+x₀x-x₀+y+y₀y-y₀+ ax-x₀+by-y₀=0
Si raccoglie x-x₀ e y-y₀ x-x₀x+x₀+a+y-y₀y+y₀+b=0 (1)

Prendendo in considerazione l’equazione del fascio di rette passanti per il punto P y-y0=m(x-x0) Sostituiamo y-y0 del fascio di rette nell’equazione (1)

x-x₀x+x₀+a+ mx-x0y+y₀+b=0
Raccogliamo x-x0 x-x₀x+x₀+a+my+y₀+b=0 (2)
Affinché l’equazione (2) sia verificata bisogna che uno dei due fattori sia = 0 x-x₀=0 x=x₀ (verificata per ipotesi, perché P∈ C) x+x₀+a+my+y₀+b=0 Il punto P appartiene alla C x=x₀ e y=y₀
Quindi, sostituendo queste uguaglianze in x+x₀+a+my+y₀+b=0 si avrà che:
2x₀+a+m2y₀+b=0
Risolvendo questa equazione nell’incognita m: m=-2x₀+a2y₀+b pendenza retta tangente

Se sostituiamo questa pendenza nel fascio di rette passanti per P y-y0=m(x-x0) y-y0=-2x₀+a2y₀+b (x-x0) eq. retta tangente
N.B. Necessariamente il denominatore 2y₀+b ≠0 perché se fosse =0 2y₀+b=0 y0=-b2 , coinciderebbe quindi con la stessa ordinata del C della circonferenza, quindi la retta che si andrebbe a cercare sarebbe