UNIVERSITE CHEIKH ANTA DIOP DE DAKAR

1/ 3

OFFICE DU BACCALAUREAT BP 5005-DAKAR-Fann-S´n´gal e e Serveur Vocal : 628 05 59 T´l´fax (221) 33 864 67 39 - T´l. : 824 95 92 - 824 65 81 ee e MATHEMATIQUES

12 G 18 Bis A01 4 heures S´rie S1-S3 Coef 8 e . . Epreuve du 1er groupe

Les calculatrices ´lectroniques non imprimantes avec entr´e unique par clavier sont autoris´es. e e e Les calculatrices permettant d’afficher des formulaires ou des trac´s de courbe sont interdites. e Leur utilisation sera consid´r´e comme une fraude.(CF.Circulaire n0 5990/OB/DIR. du 12 08 1998) e e

Exercice 1 (5 points). Dans le plan affine euclidien on donne une droite (D) et deux points distincts F et A, sym´triques e par rapport a (D). ` On d´signe par (H) l’hyperbole d’excentricit´ 2 qui admet F pour foyer et (D) pour directrice e e associ´e a F . e ` −→ − 1. Montrer que A est un sommet de (H). D´terminer l’autre sommet A′ en exprimant AA′ en e − → fonction de AF . Construire g´om´triquement les directrices de (H), ses foyers, ses sommets et son centre et e e donner l’allure de (H). 1, 5 pts = 0, 5 pt +0, 5 pt +0, 5 pt e e 2. Soit (C) un cercle passant par F et centr´ en un point O de (D) non situ´ sur l’axe focal. Construire (C) sur la figure. On se propose de montrer que (H) ∩ (C) = A, M1 , M2 , M3 o` M1 , M2 et M3 sont les sommets u d’un triangle ´quilat´ral. e e → − − → → − On rapporte le plan ` un rep`re orthonorm´ (O, i , j ), choisi de fa¸on que (O, i ) soit un rep`re a e e c e de (D). A chaque point M du plan correspond ainsi son affixe z = x + iy ; on d´signe par a l’affixe de F . e a. Montrer que M(z) appartient ` (C) si et seulement si : zz − aa = 0 (On pourra interpr´ter a e g´om´triquement zz − aa). e e Montrer de mˆme que M(z) appartient ` (H) si et seulement si : (z − a)(z − a) + (z − z)2 = 0. e a 1 pts = 0, 5 pt +0, 5 pt b. En d´duire que (C) ∩ (H) est l’ensemble des points du plan dont les affixes z v´rifient une e e 3 ´quation de la forme : (z − a)(z − k) = 0, o` k est un