Guadeloupe-Guyane-Martinique juin 98
Un jeu de dominos est fabriqué avec les sept couleurs : violet, indigo, bleu, vert, jaune, orange, rouge.
Un domino se compose de deux cases portant chacune l'une des sept couleurs.
Chaque couleur peut figurer deux fois sur le même domino : c'est un double.
1:
Montrer que le jeu comporte 28 dominos différents.
Les 28 dominos, indiscernables au toucher, sont mis dans un sac.
2:
On tire simultanément trois dominos du sac.
Quelle est la probabilité d'obtenir exactement deux doubles parmi ces trois dominos?
3:
Dans cette question, on tire un seul domino. Calculer la probabilité des événements suivants : a: J 2 : " Le jaune figure deux fois " b: J 1 : " Le jaune figure une seule fois " c: J : " Le jaune figure au moins une fois "
4:
On effectue n tirages successifs d'un domino, en notant à chaque tirage la ou les couleurs obtenues avant de remettre dans le sac le dominé tiré et de procéder au tirage suivant ; les tirages sont indépendants. a: Calculer, en fonction de n, la probabilité p n que J soit réalisé au moins une fois. b: Calculer la plus petite valeur de l'entier naturel n pour laquelle p n soit supérieur ou égal à 0,99 .
CORRECTION
1:
Il y a 7 couleurs donc, comme un domino a deux cases, il y a C( 7 , 2 ) = 21 façons de former un domino avec deux couleurs différentes. De plus, il y a 7 dominos dont les deux cases portent la même couleur.
Au total, il y a bien 28 dominos différents.
2:
L'univers est l'ensemble des tirages simultanés de trois dominos parmi 28.
Son cardinal est donc : C( 28 ; 3 ) = 3 276.
Obtenir exactement deux doubles parmi les trois dominos revient à choisir 2 dominos parmi les 7 doubles et 1 dominos parmi les 21 qui ne sont pas des doubles.
Le nombre de choix possibles est donc :
C( 7 ; 2) + C( 21 ; 1) = 21 + 21 = 42.
41
La probabilité demandée est donc :
.
3 276
1
3 : a : Il y a un seul domino portant 2 fois la couleur jaune donc p( J 2 ) =
.
28
6
3 b: Il y a 6 domino portant exactement une fois la couleur