1 Exercices d’entrainement pour les olympiades de quatrième
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Académie de Lyon
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Sommaire
Sujets
Dénombrement - page 3
Cercles et distances - page 4
Collier de perles - page 5
La course de chevaux - page 6
Les scarabées - page 7
Trois ou quatre - page 8
Corrections
Dénombrement - correction - page 9
Cercles et distances - correction - page 10
Collier de perles - correction - page 11
La course de chevaux - correction - page 12 …afficher plus de contenu…

♦ Regarder les partitions de 3 : 3 = 2 + 1 = 1 + 1 + 1.
◊ 3 : Ils sont tous les trois ex aequo : 1 possibilité.
◊ 2 + 1 : Il y a deux ex aequo : 3 × 2 = 6 possibilités.
◊ 1 + 1 + 1 : Il n'y a pas d'ex aequo : 3 × 2 × 1 = 6 possibilités. On trouve bien 1 + 6 + 6 = 13 arrivées possibles.
2) ♦ Écrire toutes les possibilités à la main (mais c'est long). ♦ Regarder les partitions de 4 : 4 = 3 + 1 = 2 + 2 = 2 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1.
◊ 4 : Ils sont tous les quatre ex aequo : 1 possibilité.
◊ 3 + 1 : Il y a trois ex aequo : 4 × 2 = 8 possibilités.
◊ 2 + 2 : Il y a deux paires d'ex aequo : 3 × 2 = 6 possibilités.
◊ 2 + 1 + 1 : Il y a deux ex aequo : 6 × 3 × 2 × 1 = 36 possibilités.
◊ 1 + 1 + 1 + 1 : Il n'y a pas d'ex aequo : 4 × 3 × 2 × 1 = 24 …afficher plus de contenu…

On cherche DS + SA = 2 DS (car DS = SA : les faces latérales ont les mêmes dimensions).
Les points D et S sont à égale distance des extrémités du segment [BC], donc ils appartiennent à la médiatrice de ce segment.
Ainsi, (DS) ⊥ (BC).
Plaçons-nous alors dans le triangle BDS rectangle en D. Sachant que BD = 50 m et BS = 100 m, on trouve à l'aide du théorème de Pythagore que DS2 = 7 500 m2, donc DS ≈
86,6 m et DS + SA ≈ 173,2 m.
2) Traçons un patron (partiel) de la pyramide : il est alors clair que le chemin le plus court est le segment de droite reliant D à A, soit le segment [DA].
On "voit" sur la figure que [DA] contient les points G et H, et que DA = 3 × 50 = 150 m.
Le plus dur est de le justifier, sans théorème des milieux ni théorème de