Vecteur colonne

FICHE SYNTHESE : DIAGONALISATION DES MATRICES A- VALEURS PROPRES ET VECTEURS PROPRES Définitions : Soit A une matrice carrée d’ordre n, on appelle : * Valeur propre de A tout nombre tel qu’il existe une matrice colonne non nulle X vérifiant : * Vecteur propre de A toute matrice colonne X non nulle telle qu’il existe vérifiant : * Soit A une matrice carrée d’ordre n, on dira qu’elle est diagonalisable si

2 − 1)P − 2nXP. Vérifier que f est un endomorphisme de R2n [X] puis déterminer les valeurs et vecteurs propres de f . f est-il diagonalisable ? Correction [005654] Exercice 5 *** Soit E = R3 [X]. Pour P élément de E, soit f (P) le reste de la division euclidienne de AP par B où A = X 4 − 1 et B = X 4 − X. Vérifier que f est un endomorphisme de E puis déterminer Ker f , Im f et les valeurs et vecteurs propres de f . Correction [005655] Exercice 6 *** Soit A une matrice rectangulaire de format

propre associ´e e Ainsi, α = 2 2 au vecteur propre X. Le sous-espace propre associ´ est donc de dimension 1. e L’homoth´tie u0 est diagonalisable. Dans le cas g´n´ral, uλ l’est ´galement e e e e puisque la somme des dimensions des sous-espaces propres est ´gale ` n + 1, e a qui est la dimension de E. Exercice 2.2. Soit E un espace vectoriel r´el de dimension finie n 2 et E1 , E2 deux souse espaces vectoriels de E, suppl´mentaires dans E et non r´duits au vecteur e e nul. Soit u1 ∈ L(E1 ), u2 ∈ L(E2

d’endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Polynôme de matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Valeurs propres, vecteurs propres 1 1 1 Proposition 5 : E un K-ev, u ∈ (E) admettant un pomi πu , si F est un sous espace vectoriel de E u-stable, v = u/F, alors π v /πu . 3.1 Valeurs propres, vecteurs propres d’un endomorphisme 3.2 Valeurs propres, vecteurs propres d’une matrice. . . . . 3.3 Polynôme caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 5 Diagonalisation Trigonalisation

à la colonne numéro k de X. Les vecteurs sont supposés normalisés:          ||xk|| = 1          A = [aj,k] = matrice d'ordre J * K des activations des J cellules de sortie pour les K stimuli. L'activation de l'ensemble du réseau pour le stimulus numéro k est donnée par le vecteur ak (colonne numéro k de A).          O = [oj,k] = matrice d'ordre J * K des réponses des J cellules de sortie pour les K stimuli. La réponse de l'ensemble du réseau pour le stimulus k est donnée par le vecteur ok (colonne

6 ÉTAPES Petits rappels de théorie Étant donnée une matrice 2 × 2 A= 1. A est diagonale si A = a b , c d λ1 0 ; 0 λ2 2. A est diagonalisable s’il existe une matrice inversible P telle que P −1 AP = ∆, où ∆ est diagonale. 0 x 3. v = ,v= est un vecteur propre pour A, de valeur propre λ, si Av = λv. y 0 La recette Considérons par exemple A= 1 2 . 2 1 1. Polynôme caractéristique de A : c’est pA (x) = det(A − xI2 ). Ici pA (x) = det A = 1 2 x 0 − 2 1 0 x = det 1−x 2 2 1−x = (1 − x)2 − 2 · 2 =

d'un Vecteur. Calcul de l'Image d'un Vecteur . . . . Matrice de l'Inverse d'une Application . . . . . . . . . . . . . Changement de Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rang d'une Matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matrices Remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Application des Déterminants à la Théorie du Rang . . . . . 4.9.1 Caractérisation des Bases . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9.2 Comment reconnaître si une famille de vecteurs est libre

points) Correction © http://labolycee.org A – Première phase 1. Deuxième loi de Newton : Dans un référentiel galiléen, la somme des forces extérieures 2. [pic] exercée sur un système de masse m est égale au produit de la masse m par le vecteur accélération [pic] : [pic] On étudie le mouvement du système {balle} dans le référentiel terrestre supposé galiléen. En négligeant les actions liées à l’air et le poids de la balle (énoncé) devant la force [pic] exercée par la crosse, la deuxième

Jx ψ|Jx ψ ≥ 0. (19) Ceci implique que J 2 est un op´rateur hermitique positif. J 2 , qui est une somme de tels op´rateurs, l’est e e x donc ´galement. e Notons |j m un vecteur propre de J 2 et Jz , de valeur propre j(j + 1) positif et m respectivement : J 2 |j m Jz |j m = j(j + 1)|j m = m|j m . (20) (21) Les vecteurs J+ |j m et J− |j m ont respectivement pour norme J+ jm|J+ jm = = = J− jm|J− jm = = = jm|J− J+ |j m [(j(j + 1) − m(m + 1)] j m|j m (j − m)(j + m + 1) j m|j m jm|J+ J− |j m [(j(j

[pic] 4- Mesurer à l’aide des plans, les différents paramètres de construction. 5- A l’aide du cours CM_cinematique.pdf, définir les lois cinématiques utiles pour définir la vitesse d’un point. Le vecteur position est défini par le vecteur : OM = xM .x + yM . z [pic] [pic] 6- Identifier la loi d’entrée sortie en position, en vitesse et en accélération du piston. Relations utilisées : [pic] Démonstration : [pic] Résultats : 7-