Topologie faible

En cosmologie, un mirage topologique est un hypothétique mirage, qui serait dû à la topologie de l'Univers. Plus précisément, cet effet serait lié à la structure et aux raccordements topologiques de celui-ci. Ce mirage nous donnerait l'impression que l'univers est plus vaste qu'il ne l'est en réalité en démultipliant les sources « lumineuses » qui nous proviennent du cosmos : un peu comme une pièce tapissée de miroirs réfléchit infiniment son propre contenu. Sommaire [masquer] 1 Origine de

y( 1) ; x = y; 3 ) Une relation d’ ordre, dont la restriction à R est la relation d’ ordre usuelle de R, et qui est telle que 8x 2 R; 1 < x < +1; 4 ) Une topologie qui est engendrée par l’ ensemble formé de tous les ouverts de R ( pour la topologie usuelle de R ) et les parties [ 1; x[; ]x; +1]; x 2 R. Par conséquent, pour cette topologie, O R est ouvert si et seulement si il existe une famille (Ik )k2K d’ éléments de f]a; b[ = telle que O = [k2K Ik . 2 1 a b +1g [ f[ 1; b[ = b 2 Rg [ f]a; +1]

= β!(α − β)! β βi ≤ αi pour i = 1, . . . , n. On pourra faire une r´currence sur n ∈ N. e o` u, v : Rn → R sont de classe |α|, u 1.3. Espaces de fonctions. Si Ω est un sous-ensemble de R, C(Ω) sera l’espace de fonctions continues sur Ω (pour la topologie induite) ` valeurs a complexes. Si Ω est ouvert et k est un entier positif, C k (Ω) sera l’espace des fonctions ayant des d´riv´es partielles continues jusqu’` l’ordre k, et C k (Ω) sera l’espace e e a des fonctions u ∈ C k (Ω) telles que ∂ α u s’´tendent

ENS Ulm-Lyon 2000 Soit f une fonction dans C ∞ (Rd , Rd ) (d´finie sur Rd et ` valeurs dans Rd ). L’objet de ce probl`me est l’´tude de propri´t´s e a e e ee qualitatives du syst`me d’´quations diff´rentielles e e e (E) dx (t) = f (x(t)) dt o` x est une fonction d´finie sur un intervalle de R ` valeurs dans Rd . La norme euclidienne usuelle de Rd sera not´e . u e a e et B(x, r) d´signera la boule ouverte de centre x et de rayon r. On notera Re z la partie r´elle du nombre complexe z. La e e diff´rentielle

une manière adaptée à traiter les processus stochastiques ( de manière aléatoire ). La même année, il devient directeur de l'Institut de mathématiques de l'Université de Moscou et en 1934, il publie son travail sur la cohomologie (concept de la topologie) et obtient, grâce à cette thèse, le titre de docteur en mathématique et en physique. ( grade ) Il obtient des récompenses des autorités soviétiques, comme l’Ordre de la science socialiste (1940) ou encore le prix Staline (1941) et sept fois l'ordre

langage, la logique mathématique. Le xxe siècle a connu un fort développement en mathématiques avec une spécialisation des domaines, et la naissance ou le développement de nombreuses nouvelles branches (théorie de la mesure, théorie spectrale, topologie algébrique et géométrie algébrique, par exemple). L'informatique a eu un impact sur la recherche. D'une part, elle a facilité la communication et le partage des connaissances, d'autre part, elle a fourni un formidable outil pour la confrontation

dioïdes…) La théorie des nombres (qui généralise l'arithmétique élémentaire) utilise tout autant des méthodes analytiques que des méthodes algébriques avancées, pour résoudre des problèmes qui peuvent souvent être énoncés de façon élémentaire. La topologie algébrique tend à associer à des objets géométriques de natures diverses des invariants de nature algébrique. Elle se situe donc à la frontière de la géométrie différentielle et de la géométrie algébrique. Toutefois, pour des objets géométriques

langage, la logique mathématique. Le XXe siècle a connu un fort développement en mathématiques avec une spécialisation des domaines, et la naissance ou le développement de nombreuses nouvelles branches (théorie de la mesure, théorie spectrale, topologie algébrique et géométrie algébrique, par exemple). L'informatique a eu un impact sur la recherche. D'une part, elle a facilité la communication et le partage des connaissances, d'autre part, elle a fourni un formidable outil pour la confrontation

variables al´atoires e 5.1 Convergence presque sˆre . . . . . . . . . . . u 5.2 Convergence en probabilit´ . . . . . . . . . . . e p 5.3 Convergence dans L . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Convergence en loi . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Lois faible et forte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 15 15 16 17 18 6 Probabilit´s et esp´rances conditionnelles e e 6.1 Conditionnement discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Conditionnement g´n´ral

62 63 65 67 69 72 6 Chapitre 1 Parties convexes d’un espace affine Dans toute cette partie, E sera un expace vectoriel, de dimension finie ou infinie (´vene e tuellement un espace affine). On pourra, lorsque c’est n´cessaire, munir E d’une topologie (m´trique pour simplifier), et on supposera qu’elle est compatible avec la structure d’ese pace vectoriel (i.e. l’addition et la multiplication par un scalaire sont continues). 1.1 1.1.1 D´finition et le th´or`me fondamental e e e D´finition