Topologie algébrique

structure algébrique — après les groupes, les anneaux et les corps. Cependant, alors que vous n’aviez pratiquement rien à savoir sur les groupes, les anneaux et les corps, on exige de vous au contraire que vous sachiez tout — ou presque — sur les espaces vectoriels en fin de spé. C’est parti ! La théorie mathématique des espaces vectoriels s’appelle l’algèbre linéaire. Revoyez impérativement votre cours sur les systèmes linéaires du chapitre « Ensembles de nombres et calculs algébriques ». Espaces

encore, l’idée qu’on peut transformer A3 − B3 ne vous effleure même pas. Dans toutes les identités qui suivent, les lettres A, B, C, D….. représente en principe des monômes, mais elles peuvent tout aussi bien représenter des nombres algébriques ou des expressions algébriques quelconques. Carré d’un binôme. On a : (A + B)2 = (A + B) (A + B) = A . A + A . B + B . A + B . B, ou A2 + B2 2AB (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 Ce qui s’énonce : Le carré de la somme de deux monômes est égal à la somme de leur carré et

TP MAPLE no4 Courbes param´tr´es e e Benjamin Favetto Vincent Mercat 12 novembre 2008 1 Introduction Le but de ce TP est de savoir ´tudier et tracer diff´rentes courbes param´tr´es en coordonn´es cart´e e e e e e siennes ou polaires. Pour acc´der aux fonctions de la biblioth`que plots, on n’oubliera pas de commencer e e par > with(plots); 2 Courbes en coordonn´es cart´siennes e e Pour tracer la courbe param´tr´e suivante, donn´e en coordonn´es cart´siennes par e e e e e x(t) = 2 sin(t)

17 187 187                        A. Les Espaces vectoriels réels 11 21/10/2010 Un espace vectoriels sur IR est un ensemble E ; non vide ; muni d’une structure algébrique particulière. Les éléments de E sont appelés vecteurs. Cette structure algébrique est due essentiellement aux deux propriétés suivantes : ∀α∈IR ; ∀u∈E scalaire vecteur on a : αu∈E u+v∈E Loi de composition externe ∀u∈E ; ∀v∈E on a : Loi de composition interne Exemple

1. Polynômes du second degré Définition On appelle polynôme (ou trinôme) du second degré toute expression pouvant se mettre sous la forme : P(x)=ax2+bx+c où a, b et c sont des réels avec a ≠0 Exemples P(x)=2x2+3x−5 est un polynôme du second degré. P(x)=x2−1 est un polynôme du second degré avec b=0 mais Q(x)=x−1 n'en est pas un car a n'est pas différent de zéro. (C'est un polynôme du premier degré-ou une fonction affine) P(x)=5(x−1)(3−2x) est un polynôme du second degré car en développant

Exercices - Anneaux : corrigé Structure d’anneaux Exercice 1 - Eléments nilpotents - Math Spé/L2 Soient n, m tels que xn = 0 et y m = 0. 1. Puisque x et y commutent, on a (xy)n = xn y n = 0 × y n = 0. 2. Remarquons d’abord que pour p ≥ n, on a xp = xp−n xn = 0. D’après la formule du n+m k n+m−k binôme, (x+y)n+m = n+m x y . Mais, pour k ≥ n, xk = 0 =⇒ xk y n+m−k = k=0 k 0. D’autre part, pour k < n, on a n + m − k ≥ m et donc y n+m−k = 0 =⇒ xk y n+m−k = 0. Ainsi, (x + y)n+m = 0. On pourrait même

………………………………………………………………………………………………….. Fichier : ……………………………………………………………………………………....... ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. Exercice N°2 : (5 points) a. Expliquer la notion de topologie réseau :………………………………………….. ………………………………………………………………………………………. b. Donner 3 exemples de topologie en expliquant la différence entre eux : ……………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………

Les topologies des réseaux informatiques. Introduction : Une topologie de réseau est en informatique une définition de l'architecture d'un réseau. Elle définit la disposition géographique des différents postes informatiques du réseau, les connexions entre ces postes et une hiérarchie éventuelle entre ces postes. le réseau en anneau : Toutes les entités sont reliées entre elles dans une boucle fermée. Les données circulent dans une direction unique, d'une entité à la suivante. Une

gestion de stock, – génétique ddes populations, – alogirthmes stochastiques d’optimisation, – mathématiques financières, – simulation. On se place maintenant sur E un espace discret, c’est-à-dire un espace au plus dénombrable muni de la topologie discrète où tous les points de E sont isolés. On considère la tribu E = P(E). Matrices stochastiques Définition 9.3 Une matrice P = (P (x, y))x,y∈E est dite matrice stochastique si ses coefficients sont positifs et la somme sur une ligne des

c'est-à-dire a ≡ a [mod p ] p Petit théorème de Fermat : Si p est premier et a un entier naturel alors p divise a − a , p Preuve : Montrons tout d’abord que pour tout entier k tel que1 ≤ k ≤ p − 1 , p divise   k     p  p  p p!  = donc   k ! ( p − k )! = p × ( p − 1 )!    k  k ! ( p − k )! k     p donc p divise   k ! ( p − k )! k    or p est premier avec k ! ( p − k )! ( sinon (Gauss) il diviserait l’un des facteurs du produits ce qui n’est pas possible