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Td de Fourier correction

1800 mots 8 pages
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TD n°6: Fourier- Correction - Page 1 sur 6
M.Trabelsi, M. Regragui, M. Duffaud : http://www.math93.com/gestclasse/classes/ipsa_ing1.html
TD n°6 : Fourier - Correction
Séries de Fourier
Coefficient de Fourier
On considère une fonction f continue par morceaux et 𝑇-périodique.
𝑐𝑛 𝑓 =
1
𝑇 𝑓 𝑡 𝑒−𝑖𝑛
2𝜋
𝑇
𝑡 𝑑𝑡
𝑇
𝑛 ∈ ℤ
𝑎𝑛 𝑓 =
2
𝑇 …afficher plus de contenu…

𝑃𝑜𝑢𝑟 𝑡𝑜𝑢𝑡 𝑟é𝑒𝑙 𝑥 ∶ 𝑆𝑓 𝑥 =
𝑓 𝑥− + 𝑓 𝑥+
2

Théorème de Parseval
Soit 𝑓 définie sur ℝ, continue par morceaux sur −
𝑇
2 ;
𝑇
2 et 𝑇-périodique. 𝑐𝑛
2
∞
𝑛=−∞
=
1
𝑇 𝑓 𝑡 2 𝑑𝑡
𝑇
𝑜𝑢
𝑎0
2
𝟐
+ …afficher plus de contenu…

En déduire que :
(−𝟏)𝒏
𝟐𝒏−𝟏 𝟐𝒏+𝟏 (𝟐𝒏+𝟑)
∞
𝒏=𝟎 =
−𝝅
𝟖 Avec 𝑥 = 𝜋/2
3.
𝟏 𝟐𝒏−𝟏 ² 𝟐𝒏+𝟏 ²(𝟐𝒏+𝟑)²
∞
𝒏=𝟎 =
𝟑𝝅²
𝟐𝟓𝟔 On applique Parseval
Exercice 8 :
1. En utilisant le résultat de l’exercice 3, montrer que
𝐬𝐢𝐧𝒂𝒕 𝐜𝐨𝐬 𝒙𝒕
𝒕
+∞
−∞
𝒅𝒕 =
𝝅 𝒔𝒊 𝒙 <

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