Théorème central limite

( ) ( ) ( ) Calcul des limites : ( ) D’où : ( ) ( ) ( ) [ ( ) Sur ] , donc l’équation ( ) n’a pas de solution ; sur l’intervalle ] [, la fonction est continue (car dérivable) et monotone croissante de à . Ceci est valable a ] donc, d’après le théorème de la bijection, il existe un unique réel fortiori sur l’intervalle [ [ ] tel que ( ) . Question 3 D’après la question 1, les fonctions ( ) ( ) et sont de même signe donc : Calcul des limites : ( ) D’où : ( ) ( ) D’autre part

calculer la moyenne. Il y a aussi la fréquence de telle ou telle valeur : effectif de cette valeureffectif total des valeurs (On multiplie par 100 pour avoir la fréquence exprimé en %) La médiane est la valeur centrale quand l’effectif est impair et la moyenne des deux valeurs centrales quand l’effectif est pair. Autant d’individus ont une valeur inférieure que supérieure à la médiane. L’étendue est la différence entre la valeur max et la valeur min dans l’effectif. L’étendue est une statistique

GENERALES ET TECHNOLOGIQUES 2. COMPETENCES TRANSVERSALES L’éducation mathématique développe chez les élèves les compétences suivantes. 1. S’approprier une situation 2. 3. 4. • comprendre un message, en analyser la structure et repérer les idées centrales ; • rechercher des informations utiles et exprimées sous différentes formes. Traiter, argumenter, raisonner • traduire une information d’un langage dans un autre, par exemple passer du langage courant au langage graphique ou algébrique et réciproquement

d’écart-type σ  Si on applique le changement de variable: La variable t suit la loi normale centrée réduite: En effet, un changement de variable linéaire n’affecte pas la nature normale de la variable Théorème central limite  Définition : Véritable pilier des statistiques, ce théorème énonce que les moyennes d’un grand nombre d’échantillons suivent une loi normale, même si ceux-ci suivent individuellement une autre loi de probabilité. C’est parce que le TCL n’exige pas d’hypothèse sur la

relance de l’activité est donc plus efficace par augmentation des dépenses publiques que par diminution des impôts. Théorème d'Haavelmo : Il concerne l'effet multiplicateur du budget de l'État. Jusqu'aux travaux d'Haavelmo (prix Nobel 1989), l'effet multiplicateur était celui énoncé par Keynes : un déficit budgétaire (financé par emprunt) engendrait un surplus de croissance. Le théorème de Haavelmo indique qu'un budget équilibré n'est pas forcément neutre. Dans une situation de sous-emploi, un accroissement

suite croissante et µ i∈N Ai = lim µ(Ai ) (même si i→+∞ cette limite est +∞). 10 CHAPITRE 1. RAPPELS DE PROBABILITÉS 5. Si Ai+1 ⊂ Ai pour tout i ∈ N (suite décroissante en sens de l’inclusion) et µ(A0 ) < +∞, alors (µ(An ))n∈N est une suite décroissante convergente telle que µ i∈N Ai = lim µ(Ai ). i→+∞ Définition 1.1.8 Soit (Ω, A, µ) un espace mesuré et (Ai )i∈N une famille de A. 1. On définit la limite supérieure des événements lim sup(An )n = n∈N m≥n Am . Intuitivement

note est solution du système , alors l’EMV L est log L atteignent leur maximum (lorsqu’il existe) pour la même valeur fonction croissante). Pour faciliter les calculs, on utilise log L l’EMV est solution du système (log L est une Théorème: Soit l’EMV DE Soit g : A → A L’EMV de g( ) est g( ) 4 III. Qualités d’un estimateur : 1. Estimateur sans biais: Définition : Soit un estimateur de . Soit g une fonction tel que , g est dérivable et continue sur . Le biais de est

Limite, continuité, théorème des valeurs intermédiaires, dérivabilité, théorèmes de Rolle et des accroissements finis I Limites Continuités Exercice 1 : Soit ] [ la fonction définie par : ( ) √ Déterminer les limites de , si elle existent, en Allez à : Correction exercice 1 : Exercice 2 : Soit √ . et en la fonction définie par ( ) Montrer que admet une limite en Allez à : Correction exercice 2 : ( ) et déterminer cette limite. Exercice 3 : Déterminer

DEMI2E Polycopié 3 - v.1 20110207 Convergence et théorèmes limites Préliminaires d r 1/r Notation. Si u ∈ Rd on note par u r la norme Lr du vecteur u: u r = ( . i=1 |ui | ) d Comme toutes les normes sont équivalentes dans R on prendra r = 1 et on notera u = u 1 = r i=1 |ui |. « iid » est abrégé pour « indépendantes et identiquement distribuées ». On notera X1, , Xn , ou (Xn)n 1 une générique suite (infinie) de v.a. Convergence en loi Théorème 1. Soit (Xn)n 1 une suite de v.a. à valeurs dans

sur deux éléments : 1. le plan du tableau coupe la perspective visuelle, ce qui est en accord avec le théorème 21 de l’Optique d’Euclide (le faisceau triangulaire qui mène de l’œil à la peinture de l’objet doit être proportionnel au faisceau qui par-delà le tableau, conduirait jusqu’à l’objet réel [c’est le théorème de Thalès…]) 2. l’œil de l’observateur occupe une place centrale, ce qui est en accord avec les idées humanistes. Mais c’est Alberti qui écrit le premier traité sur la question