Symbole de Kronecker

des nombres réels R est souvent représenté par une droite. C’est un espace de dimension 1. Le plan est formé des couples ( a1 ) de nombres réels. a2 Il est noté R2 . L’espace de dimension 3 est constitué des triplets de nombres réels R3 . Le symbole a1 a2 a3 a deux interprétations géométriques : 1. Un point   a1 • a2  a3       Figure 7.1 2. Un vecteur   a1 d a2  a3       Figure 7.2 65 a1 a2 a3 . Il est noté 66 CHAPITRE 5. ESPACES EUCLIDIENS

vectoriel de E. M désigne l’adhérence de M dans E. (1) Montrer que M = {ker( f ); f ∈ E ∗ et M ⊆ ker( f )}. (2) En déduire que M est dense dans E si et seulement si toute forme linéaire continue sur E qui s’annule sur M s’annule sur E. Avec des symboles : M = E ⇐⇒ M ⊥ = {0}. Exercice III.9 Soit E un espace de Banach et (xn )n≥0 une suite de E. (1) Justifier l’implication : si xn → x dans E, alors pour toute f ∈ E ∗ , xn , f → x, f . (2) Montrer que si E est de dimension finie la réciproque de l’implication

discrète circulaire La TFD de la suite (z(n)) convolution circulaire de 2 suites périodique (x(n)) et (y(n)) de période N , est le produit des TFD des suites (x(n)) et (y(n)) : z(n) = x(n) ⊗ y(n) ⇒ T F D(z(n)) = T F D(x(n))T F D(y(n)) (III.1) où le symbole ⊗ représente la convolution circulaire. Réciproquement, la suite p(n) produit des suites x(n) et y(n), a pour TFD une suite P (k) qui est la convolution circulaire des suites X(k) et Y (k) : p(n) = x(n)y(n) ⇒ P (k) = X(k) ⊗ Y (k) avec P (k) = T F

all three lack the versatility of genuine languages. (Cartooning differs in this from conventional picturewriting, which has norms.) Their subject matter is limited to selected traits -- color, tone, position -- which mirror the continuity of the symbols. Suppose there were a discontinuity of subject matter; suppose e.g. that the pitches up only to middle C were to represent hues, and higher pitches something else. At middle C, then, there would be a drastic ambiguity. Indiscriminable pitches in that

seul vecteur de E sur lequel toutes les formes lin´aires sont nulles. e Th´or`me 82 e e Soit B = (e1 , · · · , en ) est une base de E, alors il existe une unique base (ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn ) de E∗ , v´rifiant: e ϕi (ej ) = δi,j = 1 si i = j (Symbole de Kronecker) 0 si i = j On pose ϕi = e∗ et B∗ = (e∗ , · · · , e∗ ) s’appelle la base duale de B dans E∗ i 1 n myismail.chez.com page Chapitre ´ 18 FORMES LINEAIRES 66 Mamouni My Ismail Remarque 26 ∗ Si B = (e1 , · · · , en ) est une base

pharmacodynamique photographie, traitement d’image physique générale (physique atomique, physique des matériaux, statique des fluides, principes généraux) physique nucléaire, physique des particules pluriel préposition pronom quelque chose reptiles singulier symbole télécommunications thermodynamique, calorimétrie verbe intransitif verbe pronominal verbe transitif zoologie, médecine vétérinaire, biologie animale méca. méd. métal. météo. moll. n. nut. océano. orn. opt. p. pass. p. prés. paléo. path. pharm.

pharmacodynamique photographie, traitement d’image physique générale (physique atomique, physique des matériaux, statique des fluides, principes généraux) physique nucléaire, physique des particules pluriel préposition pronom quelque chose reptiles singulier symbole télécommunications thermodynamique, calorimétrie verbe intransitif verbe pronominal verbe transitif zoologie, médecine vétérinaire, biologie animale © Dunod – La photocopie non autorisée est un délit. A aardvark n. (zoo.), oryctérope m. abacterial

expression dans (3.18), nous obtenons : J i = ε i σ Ti 4 + (1 − ε i ) n ∑J k f ik k =1 Yves Jannot 59 Transfert de chaleur par rayonnement Soit encore : σ Ti 4 = Ji 1 + εi εi 60 n ∑ (1 − ε ) J i k f ik k =1 n En utilisant le symbole de Kronecker, nous pouvons écrire : J i = ∑δ ik Jk k =1 D’où : n 1 k =1 i ∑ε [δik − (1 − ε i ) f ik ] J k = σ Ti 4 (3.23) Nous écrirons cette relation pour toutes les surfaces Si dont on connaît les températures. Pour celles dont on n connaît

puisque ces deux grandeurs sont d´ finies a une constante multiplicative pr` s. En e e conclusion, pour les vecteurs norm´ s pour une masse g´ n´ ralis´ e unitaire on a : e e e e ¯ ¯ Xrt K Xs = ω2 δrs r (3.2.5) ¯ ¯ Xrt M Xs = δrs avec δrs le symbole de Kronecker. Th´ or` me de d´ g´ n´ rescence : lorsqu’une racine ω2 est multiple, il y correspond e e e e e p autant de vecteurs propres lin´ airement ind´ pendants que le degr´ de multiplicit´ de la e e e e racine. En corollaire, les relations d’orthogonalit´

premier temps : (H) (H1 ) : [εi ] = 0 pour tout indice i (H2 ) : Cov(εi , εj ) = δij σ 2 pour tout couple (i, j) Les erreurs sont donc supposées centrées, de même variance (homoscédasticité) et non corrélées entre elles (δij est le symbole de Kronecker, i.e. δij = 1 si i = j, δij = 0 si i = j). Notons que le modèle de régression linéaire simple de la définition 1.1 peut encore s’écrire de façon vectorielle : Y = β1 ½ + β2 X + ε, où : – le vecteur Y = [y1 , . . . , yn ]′ est aléatoire de