Symbole de Kronecker

covariantes. En d¶¯nissant un nouveau \tableau de nombres" g ¹º par: e e yº = gº ¹ y ¹ ; on peut ¶crire: e y º = gº ¹ y ¹ = gº ¹ g ¹¾ y ¾ : Les g ¹º sont donc tels que: º gº ¹ g ¹¾ = ±¾ ; (2.12) (2.13) (2.14) º e oµ les symboles ±¾ sont de simples symboles de Kronecker (1 si les deux indices sont ¶gaux, 0 sinon). u ¹º est donc inverse de la matrice des g . On a donc: En termes de matrices, la matrice des g ¹º g¹º 1 0 0 0 B 0 ¡1 0 0 C C : =B @0 0 ¡1 0 A 0 0 0 ¡1 0 1 (2.15) A

on a : z + z = z + z et zz = z z (commutativité) z + (z + z ) = (z + z ) + z et z(z z ) = (zz )z (associativité) z(z + z ) = zz + zz (distributivité de la multiplication sur l’addition) On remarquera que, comme pour la multiplication dans R, le symbole de multiplication × n’apparaît pas nécessairement. Définition 1.1.3 (Somme) Soient z et z des nombres complexes. On appelle somme des nombres z et z le nombre complexe z + z . Définition 1.1.4 (Produit) Soient z et z des nombres complexes. On appelle

grid('off') ) entre < > : touche de clavier, ou combinaison de touche (exemple: , ) sauf indication contraire, toutes les instructions décrites dans ce support de cours s'appliquent à la fois à MATLAB et à Octave-Forge ; on utilisera cependant les symboles suivants : pour indiquer que la fonctionnalité présentée n'est disponible que sous MATLAB fonctionnalité disponible uniquement sous Octave-Forge, Gnuplot, JHandles, ou basé OpenGL/FLTK avec respectivement les backends graphiques: fonctionnalité pas

voit alors que l’on a I(x, x ) = δ(x − x ). On appelle distribution un objet tel que δ(x) qui n’est défini que par son intégrale. La fonction introduite ici s’appelle distribution δ de Dirac. C’est un peu l’analogue pour des indices continus du symbole de Kronecker pour des indices discrets. δ(x) est nul pour x = 0. Mais c’est la valeur en 0 qu’on ne sait pas définir. On peut souvent réaliser δ(x) comme une limite de fonctions en formes de pic (gaussienne ou lorentzienne ou sinus cardinal, etc) quand la

duales Dans ce § 1.3.3, E désigne un K-ev de dimension finie, n = dim(E) 1. 1) Définition et propriétés Théorème - Définition ei∗ est aussi appelée la i -ème forme linéaire coordonnée sur la base B = (e1 ,. . . ,en ) . δi j est appelé le symbole de Kronecker. Soit B = (e1 ,...,en ) une base de E. On considère, pour chaque i de {1,...,n}, la forme linéaire ei∗ : E −→ K définie par : ∀ j ∈ {1,...,n}, ei∗ (e j ) = δi j = 1 si i = j . 0 si i = j La famille (e1∗, ..., en∗) est une base de E ∗, appelée

charge – volumique ou superficielle – est bien-sˆr li´e au mati´riau u e e et m´rite de ce fait le surnom de charge li´e. Pour la distinguer de la charge externe au e e mat´riau qu’on pourrait y introduire artificiellement, on affuble d’un prime ( ) les symboles e relatifs a la charge li´e. ` e La d´finition de P donn´e plus haut (et dans les manuels les plus connus) est ambig¨e. En e e u effet, si on imagine un cristal de type ionique dans lequel les charges positives sont d´plac´es en e e moyenne par rapport

recueil est disponible librement à l’adresse suivante: http://mathem-all.fr/recueil_blagues31.pdf. Très bientôt, une nouvelle version sera à l’adresse suivante: http://mathem-all.fr/recueil_blagues314.pdf. Table des matières 1 Humour sur les symboles 1.1 La blague de la honte . . . . . . . . . 1.2 La prochaine sera bien (jycroisamort) 1.3 Sex is fun... . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 En fait j’en ai d’autres . . . . . . . . . 1.5 Superthéorèmes . . . . . . . . . . . . . 2 Humour sur le jargon

Soit a ∈ R et n ∈ N . Résoudre dans C l'équation (1 + z)n = cos(2na) + i sin(2na). En déduire la valeur de n−1 k=0 [ 02183 ] sin a + kπ n . a) Observer que, pour tout j ∈ {0, 1, ..., n}, on a Li (aj ) = δi,j (où δi,j est le symbole de Kronecker (1823-1891) qui est égal à 1 lorsque i = j et 0 sinon). b) Montrer que ∀P ∈ K n [X] on a P (X) = n i=0 P (ai )Li (X). Exercice 77 Soit P ∈ C [X] non nul et n = deg P . Montrer que les sommes des zéros de P, P , . . . , P (n−1) sont

ATSkw est obtenu en additionnant tout le × W i des produits W j de toutes les paires d'atomes i et j, pour lesquels la distance topologique égale le retard comme :  nSK est le nombre d'atomes de molécule d'non-Hydrogène  dij est le delta de Kronecker (dij =1 si dij = k, zéro autrement, dij étant la distance topologique entre deux atomes considérés). Les blocks des descripteurs moléculaires calculés par DRAGON sont représentés dans la figure suivant : Figure II-2: Représentation des blocs

même valeur à plusieurs variables, avec une syntaxe de la forme a=b=c=0 ; les instructions x+=5 et n*=2 sont respectivement équivalentes à x=x+5 et à n=n*2. 1.4.2 Variables symboliques Sage distingue les variables au sens informatique des symboles intervenant dans les expressions mathématiques formelles. Les variables formelles doivent être déclarées par la fonction var(..) avant d’être employées : sage: var( a b ) ; c = 2 2*a + b ; u = a*c + b ; u Calcul mathématique avec Sage, §1.5