Surjection

Definition 1.10 Soit E et F deux ensembles et f : E → F . On dit que : 1. f est une injection (est injective) si pour tout (x, x ) ∈ E 2 , f (x) = f (x ) =⇒ x = x . 2. f est une surjection (est surjective) si ∀y ∈ F , ∃x ∈ E tel que y = f (x). 3. f est une bijection (est bijective) si f est une injection et une surjection, c’est-`-dire qu’` tout ´l´ment de F , il existe un et un seul a a ee ant´c´dent par f . e e Definition 1.11 Soit E, F et G trois ensembles, et soit f : E → F et g : F → G. On appelle

élément de F. 43 NOTIONS D’INJECTION … f(x) x E x2 x1 F f(x1)=f(x2) Pour tout x1 dans E, pour tout x2 dans E, f(x1)=f(x2) Pour tout x1 dans E, pour tout x2 dans E, x1≠x2 ⇒ x1=x2 44 ⇒ f(x1) ≠ f(x2) … ET DE SURJECTION x ? z y=f(x) 45 Pour tout y dans F, il existe x dans E tel que y=f(x) … ET DE BIJECTION f(x) x E x2 x1 f(x1) f(x2) F f bijective ⇔ f injective et surjective Pour tout y dans F, il existe un unique x dans E

canonique de im(f ) dans F , f : E/Rf → im(f ) la bijection canonique et s la surjection canonique de E sur E/Rf . – Partitionner E = i∈I ωi où (ωi )i∈I est la famille canoniquement associée à E/R. Curiosités – – – – – – La théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel-Skolem avec l’axiome du choix (ZFC). Les axiomes de Peano. Indécidabilité et théorèmes d’incomplétude de Gödel. Le théorème de Cantor : il n’existe pas de surjection de E sur P(E). Le lemme de Kuratowski-Zorn : tout ensemble inductif admet

(ii) Si I est dénombrable, et si ∀ i ∈ I, Ai est fini, alors est au plus dénombrable. 1.1.10 Théorème : Soit X,Y deux ensembles non vides et une fonction f : X → Y, Si X est dénombrable et f une surjection alors Y est au plus dénombrable. 1.1.11 Théorème : Soit X un ensemble, il n’existe pas de surjection de X vers ℘(X) (ensemble des parties de X, noté aussi 2X). Si Card(X) = k ∈ ℕ*, alors Card(℘(X)) = 2k. On déduit de ce théorème que ℘(ℕ) est infini non dénombrable. 1.1.12 Théorème : ℝ est infini

famille génératrice minimale pour l’inclusion. 3. e est une famille libre maximale pour l’inclusion. Toute sous-famille d’une partie libre est une partie libre et toute sur-famille d’une partie génératrice est une partie génératrice. L’image par une surjection linéaire d’une famille génératrice est une famille génératrice. L’image par une injection linéaire d’une famille libre est une famille libre. L’image par un isomorphisme d’une base est une base. L’image par une application linéaire u d’une famille

 Université Hassan 1er  Faculté des Sciences Juridiques Economiques et Sociales. Settat. 2ème année de Sciences Economiques Fiche 2 de T.D de Mathématiques Applications linéaires Module : Méthodes quantitatives III Année universitaire : 2013-2014 Exercice 1 I/ les applications suivantes sont-elles linéaires ? justifier: g : R2R2 , définie par g(x,y) =(2x + y , x -2) h : R2R3 , définie par h(x,y) =(x, |y|, 0) II/  Soit f l’application linéaire de R3 dans R2

MATHEMATIQUES - PCSI-1 - 2012/2013 __________________________________________________________________ PROGRAMME DES COLLES PCSI-1 SEMAINE K14-S16 du 14 au 18 Janvier 1. N 2. 3. - Récurrence : Voir semaines précédentes Dénombrement : Voir semaines précédentes : Voir semaines Exemples de calcul de sommes avec des coefficients binômiaux précédentes 4. 5. Lois dans un ensemble - Groupes : Voir semaines précédentes Anneaux-Corps commutatifs :Voir semaines précédentes :

Algébre linéaire:compléments M.el kati 20 septembre 2013 Table des matières 1 Application linéaire et sous-espaces vectoriels 1.1 codimension : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Rang d’une application linéaire : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 2 2 . . . . 4 4 4 4 6 3 Dualité 3.1 Hyperplan et formes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Bases duales . . . . .

COURS MPSI A 8 C. ALG. LINÉAIRE : COMPLÉMENTS R. FERRÉOL 13/14 C) COMPLÉMENTS D’ALGEBRE LINEAIRE I) PROJECTEURS ET INVOLUTIONS. 1) Projecteurs. DEF : un projecteur d’un espace vectoriel E est un endomorphisme dont le carré est égal à lui-même : p projecteur de E ⇔ p ∈ L (E) p2 (= p ◦ p) = p Les projections vectorielles définies précédemment sont évidemment des projecteurs ; mais la réciproque est vraie : PROP : Tout projecteur p de l’espace vectoriel E est une projection de base Im p = ker (p

ensemble 6.2.3 Restriction et prolongement . . . . . . . . . . . 6.2.4 Composition des applications . . . . . . . . . . 6.3 Applications particulières . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1 Injection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.2 Surjection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.3 Bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.4 Fonction indicatrice d’un ensemble . . . . . . . 6.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Solutions des exercices