Studente

alors le test est unilatéral) On appelle X la variable d’échantillonnage des moyennes des échantillons de taille 10 On considère une variable aléatoire T telle que T= X – 11 La loi de probabilité de T est la loi de Student à t-n-1 degré de liberté. S T Distribution de T Vn-1 Détermination des valeurs critiques valeur de T : P (T>=t) = 0,05 1-P (T<t) = 0,05 -P (T<t) = 0,05-1 P (T<t) = 0

s2 1 s 2c avec s 2 x 2i x 2 . n n 1 i 1 2.2. Loi de probabilité des estimateurs 30 et X de loi normale N ; X Si est connu (cas peu utile en pratique), alors U suit la loi normale N 0; 1 . n X Si est inconnu, alors T suit la loi de Student à n 1 degrés de liberté. Sc n Cas d’un grand échantillon : n 30 (et X de loi quelconque) X Dans ce cas, U suit approximativement la loi normale N 0; 1 . Sc n Cas d’un échantillon gaussien : X de loi normale N ; n 1 S 2 suit la loi de khi

somme suit la loi de 2 avec comme nombre de degrés de liberté, la somme des nombres de degrés de liberté des n variables aléatoires. 4 - Lois de Student a) - Définition n IN*. Soit les variables aléatoires X de loi normale centrée réduite et Y de loi du Khi-deux à n degrés de liberté. Si X et Y sont indépendantes, T = X Y n suit la loi de Student à n degrés de liberté. Statistique inférentielle en BTSA - B. Chaput - ENFA - Lois normales et autres lois dérivées 2 b) - Propriétés n L'espérance

de confiance est exact. Si la population ne suit pas une loi normale, l’intervalle de confiance est approximatif. Moyenne d’une population + σ inconnu Distribution : X~N(µ, ??) Intervalle : [[pic] ± ta/2 * s / √n] T = [pic] - µ loi de Student = n-1 S / √n Calculer S 1- trouver la moyenne [pic] 2- Σxi2 = x12 + x22 + x32 … 3- S2 = [ (Σxi2) – n* [pic]2] / n 4- S = √S2 5- [[pic] ± ta/2 · s / √n]( [[pic] ± s * ta/2 / √n] Taille de l’échantillon + σ connu n = (Za/2)2 σ2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 49 50 50 51 53 54 55 55 i ii Table des matières 3.4 3.5 3.6 3.7 3.3.2 Tests entre modèles emboîtés . . . . . . . . . . . 3.3.3 Test de Student de signification d’un coefficient . 3.3.4 Test de Fisher global . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.5 Lien avec le Rapport de Vraisemblance Maximale Estimation sous contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . Exemple . . . . . . . . . . . . . . .

probabilités : Usage des tables statistiques D. Conditions d’application 1. Variable aléatoire normale 2. Théorème central limite Loi du Khi² A. Définition B. Tables statistiques C. Somme du Khi² indépendantes Loi de Student A. Définition B. Densité de probabilité de la loi de Student Loi de Fisher-Snedecor A. Définition B. Tables statistiques P.008 P.008 P.010 P.012 P.015 P.015 P.016 P.018 P.018 P.019 P.020 P.020 P.020 P.021 P.021 P.021 P.022 P.008 II. III. IV. Chapitre II Convergences

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 49 50 50 51 53 54 55 55 i ii Table des matières 3.4 3.5 3.6 3.7 3.3.2 Tests entre modèles emboîtés . . . . . . . . . . . 3.3.3 Test de Student de signification d’un coefficient . 3.3.4 Test de Fisher global . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.5 Lien avec le Rapport de Vraisemblance Maximale Estimation sous contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . Exemple . . . . . . . . . . . . . .

fractile d’ordre 0,975 de la loi normale centrée réduite correspond à 1,96. si α = 10% , le fractile d’ordre 0,95 de la loi normale centrée réduite vaut environ 1,64. 2) Cas où la variance est inconnue On a : n Xn −m ' Sn ∼ St (n − 1) (loi de Student à n-1 degrés de libertés). d'où ⎛ Xn −m ⎞ P⎜ − t ≤ n ≤ t⎟ = 1 − α ⎠ ⎝ S n' où t est le fractile d’ordre 1 − α 2 de la loi St (n − 1) ' ' ⎛ Sn Sn ⎞ ⎟ = 1− α . et donc P⎜ X n − t ≤ m ≤ Xn + t ⎝ n n⎠ Quand la variance est inconnue

. . . 1.4.3 La loi de Poisson P(m) . . . . . . . . . . . . 1.5 Lois continues usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 La loi normale (Laplace-Gauss) N (µ, σ) . . . 1.5.2 La loi du Khi-deux `a n degr´es de libert´e (χ2n ) 1.5.3 La loi de Student `a n degr´es de libert´e (Tn ) . 1.5.4 La loi de Fischer-Snedecor (F(n1 , n2 )) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

si X et Y sont deux variables indépendantes. E) Quand ∣r∣=1 , la corrélation linéaire est parfaite. QCM 6 : Cochez la ou les réponse(s) juste(s) : A) On trouve que le coefficient de corrélation observé r = 10 B) On réalise ce test avec la loi de Student à n-1 ddl C) Ici, t t h é o=2,056 et on trouve t o b s<t t h é o D) On rejette l’hypothèse Ho au risque α de se tromper : il y a donc indépendance linéaire entre X et Y. E) Au risque β de se tromper, on accepte Ho. Ainsi un étudiant qui passerait