Studente

. . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Vecteurs al´eatoires gaussiens et densit´es . 3.4 Invariance par transformation orthogonale 3.5 Loi Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 La loi du χ2 ` a k degr´es de libert´e . . . . 3.7 La loi de Student . . . . . . . . . . . . . . 3.8 Loi de Fisher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Pour le test d'hypothèse, on calcule le coefficient de corrélation au lag v (cf. Corveyou-Greenberger): C(v) ; v= 1,..,5 et on en déduit la valeur observée de la variable aléatoire Z (v) = . v : Z(v) tend vers une variable aléatoire t de Student à N-1 degrés de liberté qui pour N grand ne diffère guère d'une Gaussienne. Il en résulte que l'on accepte l'absence de corrélation sérielle au lag v si Z(v) < Quantile de Gauss (1-). Pour a = 0.05 ; le quantile vaut 1.64 et pour N= 10000,

empirique X suit une loi normale avec E(X) = m et 2 ¯ X-m σ ¯ V(X) = soit ∼ N (0 ; 1). σ n n Mais σ inconnu doit être estimé par l’écart-type corrigé S. On utilisera donc la v.a. X −m S n qui suit la loi de Student de paramètre n-1, donc ici T16. 0,5 La table de Student indique : 95% = P(-2,1199 < T16 < 2,1199) ¯ ¯ = P( X- 2,1199 ∗ S/ n < m < X+ 2,1199 ∗ S/ n) ¯ Dans notre échantillon: X prend la valeur x = 45, et S prend la valeur s=16 D’où IC95%(m) = [45 - 2,1199∗ 0,5 Finalement : 16

généralisation de la loi de Fisher est la loi de Fisher non centrée. Distributions associées et propriétés Si alors est distribuée selon une loi du χ² ; La loi est équivalente à la loi T² de Hotelling ; Si alors ; Si est distribuée selon une loi de Student alors ; Si est distribuée selon une loi normale alors ; Si et alors est distribuée selon une loi bêta; Si est le quantile d'ordre pour et que est le quantile d'ordre pour alors .

Loi de la moyenne. Si [pic] deux à deux indépendants suivent une loi [pic], alors [pic] suit une loi [pic]. Notons qu’on peut retrouver ce résultat en calculant [pic], et [pic]. Loi de la moyenne si les deux paramètres sont inconnus. Cf loi de Student. 6 Loi Normale centrée réduite [pic] ❑ [pic] ❑ [pic] ❑ [pic] Somme de carré de lois Normales centrées réduites (loi du Khi-deux). Soient [pic] deux à deux indépendantes qui suivent chacune une loi [pic]. Alors, [pic] suit une loi

de décision SI p-value< ALORS RH0 Exemple avec les porcs : p-value=P(|T|>=2.51 | H0) = P(T2.51 | H0) Sous H0 : T~Stud(0,1,35) p-value=P(Stud(0,1,35)2.51) Par symétrie (Student est symétrique) p-value=2*P(Stud(0,1,35)>2.51) p-value=2*(1-P(Stud(0,1,35) RH0 OU On compare par rapport aux quartiles de Student : ex : pour = 0.05 On rejette H0 Si tobst0,1,n-1,0.975 Ex : pour les porcs : t0,1,35,0.025=-2.03 t0,1,35,0.975=2.03 or tobs=-2.51 => tobs=-2.51 RH0 Ces deux règles de

Cas identique au Cas 1, Option 1 ci-dessus Option 2 :  est inconnu dans la population 1. le Théorème Central Limite ne s’applique plus (n < 30) 3. l’écart réduit t  X  s n 1 ne suit plus une loi normale centrée réduite mais une loi de Student à  = n - 1 degrés de liberté  la distribution de la variable X dans la population-mère N’est PAS normale Cas non traité ; ce qui précède ne s’applique plus 1 Comme  (dans la population) n’est pas connu, il est remplacé dans les formules précédentes

de données des variables explicatives et de la variable expliquée puis lancé l’estimation sur Gretl. On obtient les résultats suivants : Modèle 1: MCO, utilisant les observations 1-58 Variable dépendante: Salaire Coefficient Erreur Std t de Student p. critique const −404143 4,67131e+06 -0,0865 0,93138 Points 391264 189545 2,0642 0,04391 ** Passes 184548 202565 0,9111 0,36639 ReussiteTir −95352,3 105929 -0,9001 0,37211 Efficacité 447972 201693 2,2211 0,03064 ** Moy. var. dép. 9180109

mod`le e Le cas des donn´es appari´es e e Le cas des donn´es appari´es e e Test d’hypoth`se e Test d’hypoth`se e Les hypoth`ses du test sont : e ￿ La valeur critique 1,7709 est lue dans la table des fractiles de la loi t de Student avec 13 degr´s de libert´. e e Avec un seuil de signification de 5%, la r`gle de d´cision est de rejeter e e H0 si R > 1, 7709. H0 : µ D = 0 H1 : µ D > 0 On suppose que l’on a un ´chantillon al´atoire simple de taille n = 14 et e e

Test : H0 : rx ,y = 0 contre H1 : rx ,y = 0 22/25 Test de significativité du coefficient de corrélation linéaire (2) Sous H0, liberté. On calcule alors le t de Student empirique : t∗ = |ρx ,y | (1−ρ2 ,y ) x n−2 ρx ,y (1−ρ2 ,y ) x n−2 suit une loi de Student à n-2 degrés de α On lit la valeur tn−2 dans la table de Student à n − 2 degrés de liberté, pour un seuil α = 0, 05(5%). α Si t ∗ > tn−2 , on rejette H0 : le coefficient est significativement différent de 0 α Si t ∗ ≤ tn−2 , on accepte