Sous-anneau

puissance n + m − 1. 3. L’idée est d’utiliser l’identité remarquable (toujours valable dans un anneau) 1 − xp = (1 − x)(1 + x + · · · + xp−1 ). Si on l’applique pour p = n, alors on obtient 1 = (1 − x)(1 + x + · · · + xn−1 ) ce qui implique que 1 − x est inversible d’inverse 1 + x + · · · + xn−1 . 4. Soit n ≥ 1 tel que (uv)n = 0. Alors (vu)n+1 = v(uv)n u = v × 0 × u = 0. Ainsi, vu est nilpotent. Exercice 2 - Anneau de Boole - L2/L3/Math Spé 1. On applique la propriété à l’élément x + x. Il vient x + x

LARGEUR ANALYTIQUE DE FILTRATION DE MODULES réalisé par KOUAKOU Dongoh Franck Judicael sous l’encadrement du Pr Daouda SANGARE 2 Octobre 2009 1 d’Abobo-Adjamé, UFR-SFA, Département de Mathématiques et Informatique, 15 BP 1570 Abidjan , (Côte d’Ivoire), E-mail : dongohfranck0@yahoo.fr 2 Université d’Abobo-Adjamé, UFR-SFA, Département de Mathématiques et Informatique, 02 BP 801 Abidjan 02, (Côte d’Ivoire), E-mail : dsangare@yahoo.fr. 1 Université Table des matières Sujet : FONCTIONS DE

réceptions en pieds de SAE ». 1.2.2 Autres pratique de l’escalade en centre de vacances et centre de loisirs sans hébergement. - Arrêté du 20/06/2003 (annexe VII) – précise les conditions d’encadrement, organisation et 1.3 Définitions Anneau de descente : C’est un anneau métallique, maillon rapide, ou un système à verrouillage prévu à cet effet dans lequel coulisse la corde lors d’une descente (moulinette, rappel). Connecteurs : Mécanismes ouvrables permettant aux grimpeurs de se relier directement

autre loi binaire ·, en posant a · b = 0A , pour tout a, b ∈ A. Montrer que (A, +, ·) est un anneau commutatif. Exercice 2 Soit 2Z = {2z tels que z ∈ Z}. Montrer que (2Z, +, ·) est un anneau commutatif. Exercice 3 x + y − 2 et x (Mars 2004) Soit (R, +, ·) l’anneau des nombres réels. et sur R de la manière suivante : ∀(x, y) ∈ R2 , on pose x y = y = x · y − 2x − 2y + 6. ) est un groupe abélien. , ) est un anneau commutatif unitaire. On définit deux nouvelles lois 1. Montrer que (R, 2. Montrer que (R

[resp. Q+,∗ ] le sous-ensemble de Q formé des nombres rationnels positifs ou nuls [resp. strictement positif]. Dire que M ∈ Q est la borne supérieure d’une partie non vide X de Q signifie que M est le plus petit des majorants de X, ce qui se traduit par : ∀x ∈ X, x ≤ M, ∀a ∈ Q tel que a < M, ∃x ∈ X | a < x ≤ M et on note M = sup (X) . Il n’est pas difficile de montrer l’unicité d’une telle borne supérieure quand elle existe. Exercice 1.1 Montrer que 0 est la borne supérieure du sous-ensemble X = Q. Solution

Polynômes et Fractions rationnelles 1. Généralités Définition Soit (A,+,×) un anneau commutatif unifère. On appelle suite presque nulle sur A une suite d’éléments de A dont les termes sont tous égaux à 0A à partir d’un certain rang. Remarque On pose S (A) = {suites de A} et S 0 (A) = {suites presque nulles de A}.  Rappel : addition usuelle des suites et la multiplication usuelle des suites par un scalaire. Soient a,b∈S (A) (ou S 0 (A)) et λ∈A. a = (a0, a1, a2,......., ak,........) = (an)n∈

des matières 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Sous groupes de Groupe engendré Groupe monogène, groupe cyclique Idéal d'un anneau Divisibilité dans un anneau commutatif L'anneau Z Exemple 1 : G un groupe, (a, b) ∈ G2 tel que : o(a) = 2, o(b) = 3 et aba = b−1 , déterminons le sous groupe de G engendré par {a, b}. Si H = 〈{a, b}〉 alors 1, a, b, ab, ba, b2 ∈ H, pour conclure qu’il n’y aura pas d’autres éléments, il suffit de montrer que K = {1, a, b, ab, ba, b2 } est un sous groupe de G, à l’aide d’une table

est un sous – espace vectoriel (ou plus simplement un sous – espace) si la réduction à W des deux lois définissant V font de W un K – espace vectoriel Première version du critère des sous – espaces: Pour que ces deux lois soient bien définies, il faut que W soit stable par les deux lois, c'est – à – dire: w + w' ∈ W, ∀ w, w' ∈ V λ⋅w ∈ W, ∀ λ ∈ K Ces 2 conditions de stabilité sont suffisantes pour que W (non – nul) soit un sous – espace vectoriel Exemples: 1) {0} est un toujours un sous – espace

[resp. Q+,∗ ] le sous-ensemble de Q formé des nombres rationnels positifs ou nuls [resp. strictement positif]. Dire que M ∈ Q est la borne supérieure d’une partie non vide X de Q signifie que M est le plus petit des majorants de X, ce qui se traduit par : ∀x ∈ X, x ≤ M, ∀a ∈ Q tel que a < M, ∃x ∈ X | a < x ≤ M et on note M = sup (X) . Il n’est pas difficile de montrer l’unicité d’une telle borne supérieure quand elle existe. Exercice 1.1 Montrer que 0 est la borne supérieure du sous-ensemble X = Q

= \frac{m}{10^p} ; 3.on peut écrire a sous la forme d'une fraction irréductible \frac{b}{5^m \times 2^p}, où b est un entier relatif, et m et p des entiers naturels ; 4.soit a possède deux développements décimaux distincts, soit a = 0. Remarques[modifier | modifier le code] La première assertion différencie 1,6666, qui est un nombre décimal, de 1,6666… qui n'en est pas un (ce dernier nombre qui s'écrirait avec une infinité de 6, peut s'écrire 5/3 sous forme de fraction). La deuxième assertion