Repère de Darboux

. . . . Convergence d’une série entière . . . . Fonction convexe . . . . . . . . . . . . Etude locale d’une courbe paramétrée Exemple de ρ négatif en polaires . . . Tangente en polaires . . . . . . . . . . Asymptote en polaires . . . . . . . . . Repère de Frenet et centre de courbure Plan tangent . . . . . . . . . . . . . . . Ellipse : foyers et directrices . . . . . . Parabole : foyers et directrices . . . . . Hyperbole : foyers et directrices . . . . Quadriques . . . . . . . . . . . . . . . Surface

écrira toujours un logarithme avec une valeur absolue. 22. 22.1. Primitive Intégrale de Riemann (ou intégrale simple) Théorème : (Darboux) Une fonction continue sur un intervalle admet une primitive sur cet intervalle. Deux primitives diffèrent d’une constante. b Définition : a f (t) dt = F(b) − F(a), avec F une primitive de f . b a Dans un repère orthonormal, l’intégrale f (t) dt est aussi l’aire algébrique délimitée par la courbe et l’axe Ot de la variable entre t = a et t

(x) = 0} le noyau de f . Γ = {(x, f (x)); x ∈ D} le graphe de f (Γ est parfois noté Γf ). → → − − Représentation du graphe Soit un plan muni d’un repère (O, i , j ) (en général orthonormé). 3 4 CHAPITRE 1. FONCTIONS : GENERALITES - LIMITES - CONTINUITE On note C = {M (x, f (x)); x ∈ D}. → → − − C est la courbe représentative de f dans le repère (O, i , j ). 1.1.2 Exemples Exemples 1.1.1. Fonction identité R → R La fonction id : est appelée fonction identité. x ￿→ x Exemples 1.1

(x) − x f (x) est décroissante. 5.31 Exemple d’inégalité de convexité n Soient n ∈ N∗ , a1 ,...,an ∈ ]0 ; +∞[ tels que i=1 n ai = 1. Montrer : (n 2 + 1)2 . n 61 ai + i=1 1 ai 2 Chapitre 5 • Dérivation 5.32 Théorème de Darboux Soient I un intervalle de R, f : I −→ R dérivable sur I. Montrer que f (I ) est un intervalle de R. À cet effet, pour (a,b) ∈ I 2 tel que a < b et f (a) < f (b) et pour c ∈ ] f (a) ; f (b)[ , on pourra considérer l’application g : x −→ f (x) − cx

(x) − x f (x) est décroissante. 5.31 Exemple d’inégalité de convexité n Soient n ∈ N∗ , a1 ,...,an ∈ ]0 ; +∞[ tels que i=1 n ai = 1. Montrer : (n 2 + 1)2 . n 65 ai + i=1 1 ai 2 Chapitre 5 • Dérivation 5.32 Théorème de Darboux Soient I un intervalle de R, f : I −→ R dérivable sur I. Montrer que f (I ) est un intervalle de R. À cet effet, pour (a,b) ∈ I 2 tel que a < b et f (a) < f (b) et pour c ∈ ] f (a) ; f (b)[ , on pourra considérer l’application g : x −→ f (x) − cx

résoudre un grand nombre de problèmes pratiques en ingénierie (dynamique des gaz, écoulements à grande vitesse, etc.) : ϱ ∂u + ϱu∇u = ϱg − ∇p, ∂t (1.7) En dimension 2, l’équation de conservation (1.6) peut être projetée de la façon suivante dans un repère cartésien ϱ ∂u ∂u ∂u + ϱu + ϱv = ϱgx − ∂t ∂x ∂y ∂v ∂v ∂v ϱ + ϱu + ϱv = ϱgy − ∂t ∂x ∂y ∂p ∂Txx ∂Txy + + , ∂x ∂x ∂y ∂p ∂Txy ∂Tyy + + , ∂y ∂x ∂y avec u = (u, v) les composantes du vecteur vitesse et (gx , gy ) les composantes du vecteur gravité. Attention

– et les parents (peur, embarras, angoisse, incompréhension, etc.) montrent la réalité du malaise qui subsiste et de la difficulté de ces relations. En dépit pourtant de ce climat, plus répandu qu’on ne le pensait, et du sentiment de la perte de repères, de l’insatisfaction également partagée des parents et des enseignants devant ce qu’ils ressentent, en classe comme à la maison, comme une crise d’autorité et un affaiblissement des valeurs, en dépit aussi des a priori ou des représentations négatives

essentiellement sur des concepts mathématiques généraux, principalement sur la théorie de l’intégration et de la mesure. Jusqu’à la fin du XIXe siècle, la seule manière de définir l’intégrale d’une fonction était celle de Riemann avec les sommes de Riemann-Darboux. Grâce au concept de mesure, introduit par Borel (1894, 1897), Lebesgue élabore une théorie plus générale de l’intégration. Puis enfin, grâce à Radon vers 1913, les concepts de mesure et d’intégration, définis sur R et Rn , vont être étendus à des ensembles

essentiellement sur des concepts mathématiques généraux, principalement sur la théorie de l’intégration et de la mesure. Jusqu’à la fin du XIXe siècle, la seule manière de définir l’intégrale d’une fonction était celle de Riemann avec les sommes de Riemann-Darboux. Grâce au concept de mesure, introduit par Borel (1894, 1897), Lebesgue élabore une théorie plus générale de l’intégration. Puis enfin, grâce à Radon vers 1913, les concepts de mesure et d’intégration, définis sur R et Rn , vont être étendus à des

essentiellement sur des concepts mathématiques généraux, principalement sur la théorie de l’intégration et de la mesure. Jusqu’à la fin du XIXe siècle, la seule manière de définir l’intégrale d’une fonction était celle de Riemann avec les sommes de Riemann-Darboux. Grâce au concept de mesure, introduit par Borel (1894, 1897), Lebesgue élabore une théorie plus générale de l’intégration. Puis enfin, grâce à Radon vers 1913, les concepts de mesure et d’intégration, définis sur R et Rn , vont être étendus à des