Poisson

de Poisson: Maintenant on change les conditions extrémités en les mettant ouvertes, et la pression du cylindre est fixée à 3 MN/m² (εL≠0), et on remplie le tableau suivant : Jauge N° | Déformation mesurée (μϵ) | Déformation théorique (μϵ) | Erreur | 1 | 346 | 435 | 20.45% | 2 | 83 | 87 | 4.6% | 3 | 156 | 174 | 10.34% | 4 | 233 | 261 | 10.7% | 5 | 318 | 378 | 15.87% | 6 | 378 | 435 | 13.1% | On sait que v=-εLεD avec v étant le coefficient de Poisson. Or

indépendantes: qui suit , et qui suit . La V.A. définie par suit une loi . 2. Loi de Poisson P() On appelle variable aléatoire de Poisson une variable aléatoire discrète X pouvant prendre des valeurs entières 0, 1, 2, …, k avec des probabilités e-, e-, e-, … e- où  est un paramètre positif arbitraire.  ,   Estimation. , sans biais Somme de deux lois de Poisson. Soient et deux variables aléatoire indépendantes suivant respectivement les lois

X~B(n ,p) et Y~(m,p), alors Z = X+Y ~(n+m,p) Loi de poisson La loi de poisson est souvent utilisée pour compter l’occurrence d’évènements lorsque ceux-ci se produisent les uns à la suite des autres, de façon aléatoire dans le temps. Loi de proba : Loi de poisson P(λ) => E(X) = λ et V(X) = λ Lorsque le nombre d’épreuves dans une loi binomiale tend vers l’infini et que la proba de succès tend vers 0, une v.a binomiale tend vers la LOI DE POISSON X~B(n,p) et n50 et np5 alors X -> P(λ) avec λ = np

2 3 4 5 x 6 7 8 9 10 Distribution de Poisson Représentation d ’une variable de comptage (discrète mais pas de borne supérieure) exp(−λ )λk P( X = k ) = k! Pr( X = 0) = exp(−λ ) Somme de deux lois de Poisson La somme de deux lois de Poisson indépendantes de paramètres λ1 et λ2 est aussi une loi de Poisson de paramètre λ1+ λ2 Pr( X = +∞) = 0 λ est le paramètre de la distribution de Poisson L ’espérance et la variance d ’une distribution de Poisson sont égales à λ Comparaison de la loi

n susceptibles. Chaque infecté a une période de contagion qui suit une loi I (moyenne i variance σ 2 ) indépendante de celle des autres. Et pendant cette période il rencontre un autre individu donné suivant les instants de saut d’un processus de Poisson d’intensité λ/n. Tous ces processus sont indépendants entre eux et des périodes de contagion. Ainsi, pendant temps dt, la probabilité qu’un infecté rencontre un individu initialement susceptible vaut λ. On appellera En,m (λ, I) une telle épidémie

∗ ?. ?? ???−?? = ?. ????? ??? 3°) Compléter en détaillant : E(N) = 100*0.45 = 45 V(N) = 45*0.55 = 24.75 1 0,5+ 0.5 4°) Pourquoi la loi de probabilité de N sera-t-elle mal approchée par une loi de Poisson ? E(N) ≠ V(N) ce qui interdit que la loi de N soit une loi de Poisson de P1son on aurait E(X) = V(X) 5°) Calculer P(N ≤ 50) (pour ce calcul, utiliser l’approximation par une loi normale dont on indiquera les paramètres ; détaillez les calculs) n grand, avec np et n(1-p) supérieurs

0.10 = 0.005 3. « Au moins un des deux collyres » fait référence au OU inclusif, c'est-à-dire P ( A ∪ B ) . On utilise la formule : P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) = 0.05 + 0.10 – 0.005 = 0.145 Partie B : Loi binomiale et loi de Poisson 1. La variable aléatoire X suit une loi binomiale car nous avons n tirages indépendants (prélèvements au hasard et avec remise) et il y a deux issues possibles (expérience de Bernoulli) : soit la fiche indique une pression intraoculaire normale (succès

de trains par heure circulant sur cette ligne. e Soit Xi le nombre de trains passant pendant la i-`me heure dans la gare Nanterre-Universit´ e e (i = 1 . . . n). On suppose que les Xi sont ind´pendantes et identiquement distribu´es de loi de e e Poisson de param`tre λ i.e. ∀x ∈ N, e P (Xi = x) = e−λ λx x! On rappelle que si X ∼ P(λ) alors E[X] = λ et V [X] = λ. On note x1 , . . . , xn les observations obtenues par l’association d’usagers. 1. Montrer que la vraisemblance des observations x1 ,

10−3 . 1. Étude du nombre de sinistres par véhicule Soit X la variable aléatoire qui, à tout véhicule tiré au hasard dans un des parcs de la flotte, associe le nombre de sinistres survenant pendant l’année considérée. On admet que X suit la loi de Poisson de paramètre 0, 28. a. Calculer la probabilité de l’évènement A : « un véhicule tiré au hasard dans le parc n’a aucun sinistre pendant l’année considérée ». b. Calculer la probabilité de l’évènement B : « un véhicule tiré au hasard dans le parc a

géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Loi de Poisson - Approximation d’une loi binomiale . . 2.4.1 Loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Approximation d’une loi binomiale par une loi 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .