Modélisation stochastique d’une épidémie SIR
Manon Costa
4 octobre 2011

Table des matières
1 Le modèle SIR
1.1 Un bref historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Construction de Sellke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Approximation du comportement au début de l’épidémie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2 Extension sur un graphe
2.1 Le graphe des configurations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Propagation de l’épidémie sur un tel graphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Limite en grande population . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3 Perspectives

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Résumé

Nous introduirons ici quelques modèles stochastiques de propagation d’épidémies. Les modèles épidémiologiques habituellement étudiés sont des modèles déterministes. Toutefois s’ils peuvent être plus difficiles à étudier et moins bien refléter la réalité, les modèles probabilistes sont une façon naturelle de modéliser l’évolution d’une épidémie : chaque individu à une certaine probabilité d’être infecté par la maladie. Une part importante de l’étude de ces problèmes stochastiques va être de déterminer si, quand la taille de la population augmente, ils convergent vers un problème déterministe.
Nous nous intéresserons plus particulièrement à des épidémies se transmettant d’individu en individu, et conférant en cas de rétablissement une immunité au contacts suivants. Les maladies infantiles, sexuellement transmissibles ou même la grippe correspondent à ce genre de pathologie. On appelle ce type de modèle, une épidémie SIR (Susceptibles, Infectés, Rétablis). La population est séparée en trois catégories : les Susceptibles qui sont les individus sains qui sont sensibles à la maladie. Les Infectés qui sont atteints par l’épidémie et peuvent donc la transmettre pendant une