Poisson électrique

t; N(t) = nombre d’vnements se produisant entre les instants 0 et t; Xi = temps entre le (i - 1)-me et le i-me vnements; Sn = X1 + X2 + ... + Xn = instant auquel le n-me vnement se produit. LE PROCESSUS DE POISSON Premire caractrisation Un processus de Poisson est un processus cumulatif qui satisfait les proprits suivantes: – Stationnarit: N(s, t) a la mme distribution que N(t, s). – Accroissements indpendants: si [s, t[ et [s’, t’[ ne se recoupent pas, N(s, t) et N(s’

µ)ert o` r est la racine double de l’´quation caract´ristique u e e rt 0, f (t) = [λcos( βt) + µsin( βt)] e o` r1 = α + iβ et r2 α − iβ sont les u complexes conjugu´es de l’´quation caract´ristique e e e 3. PROBABILITES a. Loi binomiale b. Loi de Poisson P(X=k)= k\ λ n! Cn pk qn−k o` Cn = k ! (n-k) ! u k k E(X)= np ; σ(X)= √ npq e−λ λk k! E(X)= λ 0,4 0, 6703 0, 2681 0, 0536 0, 0072 0, 0007 0, 0001 0, 0000 V(X)= λ 0,6 0, 5488 0, 3293 0, 0988 0, 0198 0, 0030 0, 0004 0, 0000

q k 1 +∞ (mq)n k! n=k (n − k)! = e−m p q k +∞ 1 (mq)n−k (mq)k k! (n − k)! n=k = e−m p q k +∞ (mq)n 1 (mq)k k! (n)! n=0 p k 1 (mq)k emq q k! (mp)k = e−mp . k! = e−m Z suit donc une loi de Poisson de paramètre m × 0, 25. 3. U est le rang de la première réalisation de l’événément R de probabilité 1/4 au cours d’une succession d’appels indépendants. Y suit donc la loi géométrique G(1/4), c’est-à-dire que, pour k ≥ 1, 1 3 k−1 P (U = k) =

Bernoulli. le produit de n VAR de Bernoulli. la somme de quatre lois uniformes. 14. Soit X une VAR de loi géométrique de paramètre p. Alors IP[X (k − 1)qp. q k−1 p. pk−1 q. p(1 + q + · · · + q k−1 ). 15. Soit X une VAR de loi de Poisson de paramètre λ. Alors IE(X) = λ2 . IE(X) = λ. IE(X) = k] est donnée par 1 . λ2 IE(X) = 1 . λ Fin du QCM Nombre de bonnes réponses: Voir les bonnes réponses Question 1 : Voir page 3, point 3 de la conséquence 1. Question

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3 Loi hyperg´om´trique . . . . . . . . . . . . . . . e e 2.5 Lois discr`tes infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.5.1 La Loi G´om´trique . . . . . . . . . . . . . . . e e 2.5.2 La Loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Variables al´atoires continues . . . . . . . . . . . . . . e 2.6.1 G´n´ralit´s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e e 2.6.2 Lois usuelles continues . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Fonctions g´n´ratrices

s’appliquer. 4 1.5. Lois de Poisson Lois de probabilit´ usuelles e e e D´finition 5. — Soit λ È Ê  . On appelle loi de Poisson de param`tre λ la loi de probabilit´ e discr`te µ de support Æ v´rifiant e e µØnÙ Soit µ 0,5 e¡λ 0 λn n! pour n È Æ, sinon. ô n 0 e¡λ λ δØnÙ . Cette mesure est identifi´e par la notation P ÔλÕ. e n! 0,5 λ=1 0,5 λ=4 n λ = 0,75 0,25 0,25 0,25 0 0 2 4 6 8 ... 0 0 2 4 6 8 ... 0 0 2 4 6 8 ... Le calcul des moments d’une loi de Poisson de param`tre λ se fait

Matériaux | Polypropylène | PET | Polyéthylène | Polystyrène | Formules chimique : | | | | | Caractéristique mécanique : | | | | | Coefficient de poisson | 0.1-0.3 | 0.37-0.44 | 0.45 | 0. 35 | Coefficient de frottement | | 0.2-0.4 | 0.1-0.2 | | Dureté- Rockwell | R80-100 | R94-101 | R50-70 | R60-90 | Elongation à la rupture | | | 500% | 1 .6 | Résistance chimique | | | | | Ammoniac | + | + | + | + | Acides-concentrés | + | +ou- | + | - | Acides-dilués | + ou - | + | + |

p× q ) 2) Approximation d’une loi de Poisson par une loi Normale : m > 15 Si alors la loi de Poisson P(m) par la loi Normale peut être approchée ( N m; m ) 3) La correction de continuité : Si une variable aléatoire discrète X peut être approchée par une variable aléatoire continue, il faut procéder à une correction de continuité. En effet, pour l’exemple de l’approximation des lois discrètes Binomiale ou de Poisson par une loi continue de type Normal, cela

transmissions au cours d’une séquence de 100 jours. Déterminer la loi de N, son espérance et sa variance. d) On admet que la loi de N peut être approchée par une loi de Poisson. Préciser son paramètre. Préciser l’approximation de P ( N = k ) . e) A l’aide de la table ci-jointe de la fonction de répartition de la loi de Poisson, déterminer une valeur approchée des probabilités des événements E1 : « il y a eu plus de 10 erreurs de transmission » et E2 : « le nombre d’erreurs de transmissions est

X~B(n ; p) : X suit la loi Binomiale avec p, la probabilité de réussite et n le nombre de répétitions de l’épreuve. P(X=k) = pk * (1-p)n-k * ((n !)/(k !*(n-k) !)) E(X)=np Var(X)=npq Loi de Poisson : Ssi n >= 30 et n*p < 5 λ=n*p ; deux lois de Poisson peuvent s’aditionner. X~P(λ) : X suit la loi de poisson de paramètre λ P(X=k) = e-(λ) * (λk/k !) E(X)=Var(X) = λ Loi Hypergéométrique : X~H(N,n,p) : X suit la loi Hypergéométrique de paramètre N,n et p. Avec N, nombre d’éléments et n proportion