Poisson-clown

ces deux fonctions et n −1 k a −a e et d’autre part, à l’aide du résultat de permettant d’une part le calcul de la somme ∑ k =0 k ! la question 1a), le calcul et l’affichage du taux de panne à l’instant n d’une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre a > 0, lorsque n et a sont entrés au clavier par l’utilisateur (on supposera n ≥ 1). d) Compléter la déclaration de fonction suivante pour qu’elle renvoie la valeur de a k −a ∑ e à l’appel de sigma(a, n). k =0 k ! Function sigma(a : real

sa loi est k P r(X = k) = Cn pk (1 − p)n−k o` u k Cn = n! . k!(n − k)! et on a E(X) = np et V ar(X) = np(1 − p). Rappel : n ! = n(n − 1)(n − 2) . . . 1 avec 0 ! = 1. Loi de Poisson P(λ) On l’appelle parfois la loi des ´v´nements rares . Une variable e e al´atoire X suit une loi de Poisson P(λ) de param`tre λ > 0 si ses valeurs sont {0, 1, 2, 3, . . .}, e e c’est-`-dire l’ensemble des entiers naturels N et sa loi de probabilit´ est : a e P r(X = k) = λk −λ e . k!

de dés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Loi Binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Loi géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Loi de poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

aléatoires indépendantes équidistribuées. Le flux est alors ce qu’on appelle un processus de renouvellement stationnaire. Le cas le plus simple est celui où la loi commune est la loi exponentielle, le flux d’arrivée est alors un processus de Poisson. b) Un organe de service qui est caractérisé par : 1. Le temps de service : un client qui commence à être servi sera immobilisé pendant un temps aléatoire dont on supposera connue la loi. 2. Le nombre de guichets. c) Une règle de service

Aix-Marseille Université 2009 10 Forme Générale Données Qualitatives Données Quantitatives p chart c chart 2.2 c chart • Distribution – nombre de défaut D par unité de contrôle – nombre d’infection nosocomiale par mois Di → Loi de Poisson, (c ) moy (D ) = c var(D ) = c J Gaudart, LERTIM, Aix-Marseille Université 2009 11 Forme Générale Données Qualitatives Données Quantitatives k p chart c chart • Estimation ∑ Dj – de la moyenne µ: µ D = c = j =1 ˆ ˆ k ˆ ˆ –

a- Processus d’arrivée des clients : L’arrivée des clients est décrite à l’aide d’un processus stochastique de comptage. Ce processus suit une loi de probabilités décrivant l’inter arrivées des clients. En général, ce processus suit une loi de poisson ʎ. b- Temps de service : Le temps de service d’un client est le temps séparant le début et la fin de service de ce client. Ce temps, de sa part, suit une loi de probabilités qui est, en général, une loi exponentielle µ. c- Nombre de

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Loi hypergéométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4 Loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5 Loi multinomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 3 4 5 x 6 7 8 9 10 Distribution de Poisson Représentation d ’une variable de comptage (discrète mais pas de borne supérieure) exp(−λ )λk P( X = k ) = k! Pr( X = 0) = exp(−λ ) Somme de deux lois de Poisson La somme de deux lois de Poisson indépendantes de paramètres λ1 et λ2 est aussi une loi de Poisson de paramètre λ1+ λ2 Pr( X = +∞) = 0 λ est le paramètre de la distribution de Poisson L ’espérance et la variance d ’une distribution de Poisson sont égales à λ Comparaison de la loi

tassement accroissement de contrainte en Pa G en Pa ou daN/mm2 G = O,4 E lt dilatation linéique transversale lo dilatation linéique longitudinale k en Pa p accroissement de pression ou module transversal E G= 2(1 + n ) 8 t Coefficient de Poisson e lo n= e lt p k=q 9 q accroissement de volume / volume de référence Module de compressibilité volumique k 10 11 M MEMENTO RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX M10 1 2 RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX 3/4 CISAILLEMENT – TORSION F1

Alors, déçu, vexé, il referma la bouche, fit taire son étuve puis il se rendormit avec ses rêves de Vésuve. Pierre Coran Le poisson rouge Le poisson rouge De mon école A la rougeole Il ne veut pas Que chacun voie Ses boutons rouges Dès que l'eau bouge Le peureux plonge Sous une éponge Moi je connais La vérité Mais je me tais Le poisson sait Que dans l'école Je cache et colle Mon chewing-gum Sous l'aquarium. Pierre Coran L’automne L'automne au coin du bois