Méthode de Gauss-Seidel

Résolution numérique des systèmes d'équations linéairesRésolution numérique de systèmes d’équations linéaires Méthode de Gauss-Seidel AN - 3 A & B - A.U. 2022/20232 2 La Méthode de Gauss-Seidel Comme pour la méthode de Jacobi, la méthode de Gauss-Seidel pour la résolution d’un système d’équations linéaires (S) : AX = b, consiste en premier lieu à décomposer A sous la forme: A = D − E − F, où D est une matrice diagonale, E est une matrice triangulaire inférieure et F est une matrice triangulaire

le système suivant : avec  Première étape du pivot de Gauss pour éliminer les variables dans les lignes et  :  Seconde étape du pivot de Gauss pour éliminer les variables dans la ligne  :  En remontant le système, on obtient aisément la solution du système : Algorithme de la méthode du pivot de Gauss : Triangularisation Soit la matrice échelonnée du système, on a alors Algorithme de la méthode du pivot de Gauss : Remontée et résolution À présent la matrice du système linéaire

. . 3.4 Élimination de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Description de l’algorithme . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2 Analyse de complexité . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 La factorisation LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1 La méthode de Gauss vs. la factorisation LU . . . . 3.5.2 Le calcul du déterminant . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.3 Existence et unicité de la factorisation . . . . . . . . 3.6 Les méthodes directes pour la factorisation

Compte-Rendu BE n°4 Codage de Gauss-Seidel et SOR. Résultats et Interprétation. Schéma à 5 points On code GS et SOR pour les schémas à 5 points. Voici les lignes écrites dans SciLab : Gauss-Seidel T(i,j)=0.25*(T(i-1,j)+T(i,j-1)+U(i+1,j)+U(i,j+1)); SOR T(i,j)=(1-w)*U(i,j)+w*((1/4)*(T(i-1,j)+U(i+1,j)+T(i,j-1)+U(i,j+1))); A partir de ces formules, on inscrit dans un tableau la valeur du Temps CPU de calcul en fonction du nombre du d’itération. Graphique Interprétation : On voit que le

rarement un système linéaire en calculant Esnard Aurélien Algorithmique Numérique Systèmes linéaires Ax=b : méthodes directes Formules de Crammer Cette méthode nécessite le calcul d'un déterminant, dont la complexité est en n!. La compléxité de la formule de Cramer est en n 2 n!. Par conséquent, cette méthode n'est pas utilisable en informatique. Méthode du pivot de Gauss  ai ,k i > k , Ligne i −  a  k ,k n3 L'algorithme à une complexité en . 3 À la kème étape : pour  a  Ligne

. . . . . . . . . Méthodes directes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Résolution des systèmes triangulaires. . . . . . . . . . . . 2.1.2 Méthode d'elimination de Gauss et décomposition LU . . . 2.1.3 Elimination avec recherche de pivot. . . . . . . . . . . . . 2.1.4 Matrices tridiagonales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.5 L'inverse d'une matrice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.6 Considération sur la précision des méthodes directes pour les

par des m´thodes e e e directes (Gauss, factorisation LU , Cholesky, ...) a ´t´ vue en ee ANI et la r´solution par la m´thode de Householder est donn´e e e e au chapitre 5. Concernant les m´thodes it´ratives, les m´thodes de Jacobi et e e e de Gauss-Seidel ont ´t´ ´galement vues en ANI, mais vont ˆtre eee e bri`vement rappel´es avant de passer avec plus de d´tails ` la e e e a m´thode de relaxation qui rep´sente une g´n´ralisation de la e e e e m´thode de Gauss-Seidel. e 1.1 M´thodes it´ratives: Approche

1h30 1h30   45h00 55h00 40% 60% Méthodes numériques 4 2 1h30 1h30   45h00 55h00 40% 60% UE Fondamentale Code : UEF 2.2.3 Crédits : 4 Coefficients : 2 Résistance des matériaux 4 2 1h30 1h30   45h00 55h00 40% 60% UE Méthodologique Code : UEM 2.2 Crédits : 9 Coefficients : 5 TP Mécanique des sols 2 1     1h30 22h30 27h30 100%   TP matériaux de construction 2 1     1h30 22h30 27h30 100%   Dessin Assisté par Ordinateur 2 1     1h30 22h30 27h30 100%   TP Méthodes numériques 2 1     1h30 22h30 27h30

Introduction - Historique 2. Démarrage de MATLAB 3. Génération de graphique avec MATLAB Systèmes d'équations linéaires 1. 2. 3. 4. Matrices et Vecteurs dans MATLAB Équations et systèmes linéaires dans MATLAB Méthode directe (Méthode du pivot) Méthodes itératives 4.1. Méthode de Jacobi 4.2. Méthode de Gauss-Seidel Polynômes et interpolation polynomiale Résolution des équations non linéaires 1. Opérations sur les polynômes dans MATLAB 1.1. Multiplication des polynômes 1.2. Division des polynômes 2. Manipulation

l., Via Decembrio 28, I-20137 Milano Springer-Verlag Italia est membre de Springer Science+Business Media Préface Préface de la première édition Ce livre constitue une introduction au Calcul Scientifique. Son objectif est de présenter des méthodes numériques permettant de résoudre avec un ordinateur des problèmes mathématiques qui ne peuvent être traités simplement avec une feuille et un stylo. Les questions classiques du Calcul Scientifique sont abordées : la recherche des zéros ou le calcul