Méthode de Bézout

de . 3) La division euclidienne II : Combinaisons 1) Définition 2) Formules de récurrence 3) Formule du binôme de Newton III : L'anneau 1) Diviseurs communs, PGCD 2) Egalité de Bézout 3) Le théorème de Gauss 4) PPCM 5) Les nombres premiers IV : L'anneau des polynômes [X] 1) Algorithme du calcul du PGCD 2) L'égalité de Bézout 3) Le théorème de Gauss 4) Les polynômes irréductibles 5) PPCM Annexe I : nombre d'injections, de surjections et de partitions Annexe II : les axiomes de Peano Annexe III : analyse

baccalauréat, la pratique du commentaire de texte (écrit et oral) et de l’écriture d’invention est approfondie, et la dissertation littéraire est abordée. auxquels l’humanité d’aujourd’hui se trouve confrontée. C’est l’occasion de travailler les méthodes d’argumentation des sciences. ] Éducation physique et sportive (EPS) L’EPS offre une pratique adaptée et diversifiée d’activités physiques, sportives et artistiques. Elle permet à chaque élève de développer et mobiliser ses ressources pour enrichir

+ 2)2 . On a donc démontré par récurrence que quel que soit n ∈ N, un = (n + 1)2 . E XERCICE 2 Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité 5 points 1. (1 + i)6 = [(1 + i)2 ]3 = (1 + i)6 = (1 + 2i − 1)3 = (2i)3 = −8i. √ Autre méthode : |1 + i|2 = 2, donc |1 + i| = 2 ; donc 1 + i = √ √ √ √ π 2 2 2 = 2ei 4 . +i 2 2 √ iπ 6 π 3π 2e 4 = 8e6i 4 = 8ei 2 = −8i. Donc (1 + i)6 = 2. a. Soit l’équation z2 = −8i ; d’après la question précédente (1 + i)6 = −8i donc [(1 + i)3 ]2 = −8i donc le

partie non vide et majorée de N admet un plus grand élément. – Le principe de descente infinie de Fermat : il n’existe pas de suite de N strictement décroissante. – L’axiome d’Archimède : ∀a, b ∈ N∗ , ∃n ∈ N∗ , na > b. Savoir-faire – Identifier la méthode de raisonnement la plus appropriée à utiliser (syllogisme, double implication, contraposée, absurde, récurrence – faible, forte, descendante –, etc.). – Dessiner des diagrammes pour mieux visualiser les ensembles ! – Prouver que l’ensemble des ensembles

décodage. a. Montrer que pour tous nombres entiers relatifs x et j , on a : 11x ≡ j ( mod 26 ) équivaut à x ≡ 19 j ( mod 26 ) . ZHIOUA KHALED LYCEE IBN ABI DHIAF MANOUBA Page 11 b. En déduire un procédé de décodage. c. Décoder la lettre W. Bézout+Fermat, National, sept 2007 1. On considère l’ensemble A7 = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 } . a. Pour tout élément a de A7 écrire dans le tableau ci-dessous l’unique élément y de A7 tel que ay ≡ 1[ 7 ] (soit modulo 7). a y 1 2 3 4

Étienne Bézout (1730-1783), synthétise 1 est premier avec tout autre entier. P. Wassef 25 Théorème 1.9 (Bézout) Soit a, et b deux entiers. 1. Soit d ≥ 1 un diviseur commun de a et b, alors d est le pgcd de a et b si et seulement s'il existe deux entiers u et v tels que (1) au + bv = d. 2. Les entiers a et b sont premiers entre eux si et seulement s'il existe deux entiers u et v tels que (2) au + bv = 1. Cette relation est appelée identité de Bézout. Preuve

π(x)∼ x/ln(x) lorsque x→ +∞. C’est le théorème des nombres premiers, résultat difficile démontré en 1896 avec des technique d’analyse ! Remarque 8   La difficulté de factoriser un grand nombre entier en un temps raisonnable est à la base d’une méthode de cryptographie très utilisée aujourd’hui (RSA). C  PGCD et PPCM 1  Définition Définition 1   On dit que d est un PGCD de m et n si d est un diviseur commun de m et n et si tout diviseur commun de m et n divise d. Définition analogue pour le

une cote d'amour (qui n'engage que lui ! ) des démonstrations de théorèmes à connaître ou à maîtriser. ♥ ♥♥ ROC peu vraisemblable : il suffit d'avoir compris le principe ROC vraisemblable : il faut bien maîtriser le principe et savoir retrouver la méthode ♥♥♥ ROC probable : démonstration à savoir faire les yeux fermés et les mains attachés dans le dos... Suites : ROC 1 : Unicité de la limite d'une suite ♥♥ Prérequis : définition de la limite finie d'une suite Proposition : Si la suite (un

 E P(x) ) est ( x  E nonP(x) ) ; exemple !!! Remarque : Si dans une expression on a les symboles  et  , il ne faut pas les permuter ; comme le montre l‟exemple suivant : x  R n  N / x  n est vrai mais n  N x  R x  n est faux. Méthodes de raisonnement mathématique :  Raisonnement par récurrence : il consiste à montrer qu‟une propriété P(n) est vraie pour tout entier n  nO ; on vérifie que P(n0 ) est vraie puis on montre que P(n)  P(n  1) pour tout n  n0 . Exemple : n

laquelle il est possible de fonder l'ensemble des connaissances.Descartes voit dès 1629, dans les Règles pour la direction de l'esprit, les possibilités qu'offrent les mathématiques pour jouer ce rôle6. Descartes souligne, dans le Discours de la méthode, l'attrait des mathématiques, « à cause de la certitude et de l'évidence de leurs raisons ». Le calcul algébrique se développe alors à la suite des travaux de Viète et de Descartes. Newton et Leibniz, indépendamment, inventent le calcul infinitésimal