Mesure de Lebesgue

permettant de passer au millier, au million, etc. Exemple de quipu. Histoire des mathématiques 4 Inde La civilisation de la vallée de l'Indus développa un usage essentiellement pratique des mathématiques : système décimal de poids et mesures et régularité des proportions dans la confection de briques. Les sources écrites les plus anciennes concernant les mathématiques indiennes sont les sulba-sutras (de 800 av. J.-C. jusqu'à 200). Ce sont des textes religieux écrits en sanscrit réglementant

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 85 86 87 90 90 91 92 93 97 CHAPITRE A. Intégration en polaires 97 A.1. Mesure euclidienne (ou invariante) sur une sphère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 A.2. Intégration en polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 CHAPITRE B. Mesure euclidienne sur une sous-variété différentiable. Intégration par « tranches » 101 B.1. Cas des sous-variétés paramétrées

d’´crire e e e e e P(X0 = x0 , X1 = x1 , . . . , Xn = xn , Xn+1 = xn+1 ) = µ(x0 )p(x0 , x1 ) . . . p(xn−1 , xn )p(xn , xn+1 ). La preuve de la r´ciproque est laiss´e en exercice. e e Exercice : On se donne une chaˆ de Markov (Xn )n≥0 de mesure initiale µ0 et de probabilit´s de ıne e ´ transition p(x, y). Ecrivez la loi conjointe de (X0 , X1 ), puis la loi de X1 , puis celle de X2 . Dans la suite, c’est les probabilit´s de transition qui seront importantes, beaucoup plus que la loi

(donc très récemment), sous le défini rigoureusement par Andrei Kolmogorov en CH nom de modèle probabiliste. Sa définition a nécessité préalablement le développement YTE OL de théories d’analyse importantes telles le calcul intégral et la théorie de la mesure. EP É C’est ce grand écart entre l’apparente simplicité de certains problèmes probabilistes concrets, et l’abstraction que nécessite leur résolution, qui peut rendre le monde de l’aléatoire difficile ou inquiétant, mais c’est aussi ce qui en fait

) . 2. Montrer que l’injection canonique de S (Rd) dans C∞(Rd) est continue. 71.4 Espaces Lp On renvoie à [BP] pour un exposé très détaillé sur les espaces Lp. Soit (E,A, µ) un espace mesuré. On notera K = R ou C. Soit Ω un ouvert de Rd équipé de sa tribu borélienne et de la restriction à Ω de la mesure de Lebesgue λ. Soit p ∈ [1,∞]. On note q ∈ [1,∞] l’exposant conjugué de p (qui vérifie 1 p + 1 q = 1). Définition 5. Soit f : E → K mesurable. Pour p ∈ [1,∞[, on définit ‖f‖p = (∫ E |f |pdµ )1/p et

Propri´et´e de Bernoulli => Repr´esentation pr´evisible 6.5.4 Repr´esentation pr´evisible => Complet . . . . . . . . Mod`ele binomial de Cox, Ross et Rubinstein . . . . . . . . 6.6.1 Le mod`ele d’arbre recombinant de CRR . . . . . . . 6.6.2 La mesure martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.3 Repr´esentation pr´evisible . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.4 Prix d’options, Portefeuille de couverture . . . . . . Appendice: Preuve de la proposition 6.5.5 . . . . . . . . . . . . .

Lois discr`tes usuelles e 1.1. Mesures de Dirac ´ Definition 1. — Soient ÔE, E Õ un ensemble mesurable et x0 µ:E B Ø0, 1Ù µÔB Õ È E un point. L’application 1 0 si x0 È B, sinon, est une mesure de probabilit´ sur ÔE, E Õ. Si le singleton Øx0 Ù est mesurable, l’application µ e est alors dite mesure de Dirac en x0 , ou encore masse de Dirac en x0 , et est not´e δØx0 Ù (la e e notation εØx0 Ù est aussi souvent employ´e). Une variable al´atoire X de loi la mesure de Dirac en x0 È E est presque sˆrement

Lois discr` etes usuelles 1.1. Mesures de Dirac D´ efinition 1. — Soient ÔE, E Õ un ensemble mesurable et x0 Ø0, 1Ù µÔB Õ µ:E B 1 0 È E un point. L’application si x0 È B, sinon, est une mesure de probabilit´e sur ÔE, E Õ. Si le singleton Øx0 Ù est mesurable, l’application µ est alors dite mesure de Dirac en x0 , ou encore masse de Dirac en x0 , et est not´ee δØx0 Ù (la notation εØx0 Ù est aussi souvent employ´ee). Une variable al´eatoire X de loi la mesure de Dirac en x0 È E est presque sˆ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 M´thode de Monte Carlo et chaˆ e ınes de Markov. 96 6.1 Mesures invariantes et Th´or`me ergodique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 e e 6.2 Simulation exacte d’une probabilit´ stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 e 6.3 Probabilit´s r´versibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

– Utiliser les critères d’existence des limites à droite et à gauche pour des fonctions monotones. – – – – – Curiosités – Les points d’accumulation, les points isolés, la notion d’espace topologique, de topologie faible... – Le théorème de Borel-Lebesgue (ou de Heine-Borel) : A est fermé et borné ⇔ de tout recouvrement de A par des ouverts de Rn , on peut extraire un sous-recouvrement fini. – Le théorème de Baire : toute intersection dénombrable d’ouverts denses d’un espace métrique complet est dense