Matrice symétrique

. 16 Principe de dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Feuille d’exercices n◦ 2 – calcul des propositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 III I A B C II A B C Matrices 19 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Définition générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Égalité matricielle . . . . . . . . . . .

utilis´s e Alg`bre lin´aire les donn´es sont vues de mani`re abstraite comme un nuage de e e e e points dans un espace vectoriel ; les notions suivantes doivent ˆtre bien comprises e – vecteurs : produits scalaires, d´composition selon une base e – matrices : addition, multiplication, transpos´e, trace e – valeurs et vecteurs propres : d´finition, propri´t´s e ee – m´triques : d´finitions des distances dans un espace vectoriel par une norme, lien e e avec le produit scalaire Attention : les ´tudiants

622 CHAPITRE 22. CALCUL MATRICIEL OBJECTIFS ⊲ r`egles de calcul avec les matrices ⊲ calcul des puissances d’une matrice ⊲ calcul de l’inverse d’une matrice ⊲ formulation matricielle des SEL Introduction Dans le Chapitre 21 , nous avons vu qu’un syst`eme d’´equations lin´eaires est repr´esent´e par une famille (ai,j)1in 1jp de coefficients ainsi que par un second membre b = (bi)1in. Lors de la r´esolution d’un tel syst`eme, seuls les coefficients du syst`eme et son second membre sont

P(X_{n}=x_{j}∣X_{n-1}=x_{i})=P(X_{n+k}=x_{j}∣X_{n+k-1}=x_{i}) Matrice de transition: Vecteur et matrice stochastique: Un vecteur (ligne) formé de nombre réels v=(v_{x₀},v_{x₁},...,v_{x_{n}}) est appelé vecteur stochastique si et seulement si -- toutes ses composantes sont positives ou nulles i.e. v_{x_{i}}≥0 pour 0≤i≤n. -- la somme de ses composantes est égale à un i.e. v_{x₀}+v_{x₁}+...+v_{x_{n}}=1 Une matrice carrée P=(p_{x_{i}x_{j}}) est stochastique si chacune de ses lignes

distances pour comprendre les similarités et dissimilarités. La distance entre Karditsa et Volos est : d K2 ,V  (1,27  (0,55)) 2  (1,50  (0,04)) 2  2,9 Calculées deux à deux les distances peuvent être retranscrites au travers de la matrice carrée dite matrice des proximités : Villes Karditsa Larissa Volos-Nea Ionia Trikala Karditsa 0,0 14,9 2,9 5,6 Larissa 14,9 0,0 5,3 2,2 VolosNea Ionia 2,9 5,3 0,0 1,0 Trikala 5,6 2,2 1,0 0,0 1 Si nous n’avions pas normé les variables, la distance

e1 +6e2 +2e3  f (e3 ) = e1 −e3 Ecrire la matrice de f dans la base canonique de R3 . Déterminer les sous-espaces vectoriels ker f et Im f . 2 Exercice 12 On pose   1 2 A =  0 −1  . 3 4 1. On considère l'application linéaire f : R2 → R3 représentée, dans les bases canoniques, par la matrice A. Calculer l'image par f du vecteur (2, −1). 2. On considère l'application linéaire f : R1 [X] → R2 [X] représentée, dans les bases canoniques, par la matrice A. Calculer l'image par f du polynôme P =

problème est l’étude de certaines fonctions définies sur des espaces de matrices. Dans tout le problème, on fixe un entier ? ∈ ℕ∗ et on note ℳ? (ℝ) (respectivement ℳ? (ℂ)) l’espace des matrices carrées à coefficients réels (respectivement complexes) de taille ? × ?. Si ? et ? sont deux entiers entre 1 et ?, on note ??,? le coefficient placé ligne ? et colonne ? dans la matrice ?. On rappelle que ? 0 = ?? . On note Tr(?) la trace de la matrice ?. Les parties I, II et III sont indépendantes des parties IV et V

bien un système de la forme A  = B, où A est la matrice (A1 x2  1 3x1 – 1  0 7x1 – 7 x2 = – 1 3.  2 – 1x  =  5    2 – 1x  =  5    . 2 2 2x1 = 5 + x2 = 4 2 Le système S5 a alors pour unique solution le vecteur  . – 1 EXERCICE 7 1. S6 La matrice élargie du système S6 est : . A2).. Or Le système S6 est donc équivalent au système : qui n’a pas de solution puisque est impossible. 2. S7 La matrice élargie du système S7 est : .  Or  Le système

consacr´e ` a la primitivation et au calcul int´egral ainsi qu’`a ses applications au calcul d’aires, de volumes et de travail d’une force. Le huiti`eme chapitre pr´esente quelques notions de calcul matriciel (op´erations entre matrices, calcul d’un d´eterminant et inversion d’une matrice). Enfin, le neuvi`eme chapitre est une introduction aux nombres complexes. Je m’en voudrais de ne pas profiter de cette occasion pour exprimer toute ma gratitude `a Fran¸coise Bastin pour l’accueil qu’elle r´eserve toujours

permettent pas de conclure quant à l’existence d’un extremum local de[pic]en [pic] Définition ( matrice hessienne) : Soient U un ouvert de (p, [pic]: U[pic]( de classe C² sur U, [pic]U, Q la forme quadratique : Q : (h1,…,hp)[pic] [pic]hi.hj.[pic]. La matrice H de Q dans la base canonique de (p, H=[pic] est appelée la hessienne de [pic]en [pic] La matrice H est symétrique réelle, par le théorème de Schwarz, donc H est diagonalisable dans Mn((). En notant Sp((H) le spectre