Matrice diagonalisable

Introduction aux outils d’analyse quantitative. Chapitre I : Les matrices. Exemple d’introduction : Un étudiant veut aller manger. Il mangera soit au restaurant soit chez lui. Il veut savoir lequel des deux est le plus avantageux. On note x le prix du restaurant et y le prix à la maison. Dans la première semaine, il va 4 fois au restaurant et une fois chez lui donc nous avons : 4x + y = 51 Dans la seconde semaine, il va deux fois au restaurant et trois fois chez lui, nous avons :

fonction de plusieurs variables sont ceux où toutes les dérivées partielles s'annulent. Pour être complet, signalons encore sans entrer dans les détails que la nature du point stationnaire est en général déterminée par l'étude de la matrice des dérivées secondes (matrice hessienne), c'est-à-dire du tableau carré dont les éléments sont donnés par : hi , j = ∂2 f ∂xi ∂x j 3.2. Différentielle Pour exprimer que fi(x1,…,xn) (i = 1,…,n) est la dérivée par rapport à xi d'une fonction F(x1,…,xn) on note

Définitions : Soient (Ω,a,P) un espace de proba et E l’espace des états. 1) Une matrice π = (π (x, y), x, y ∈ E) est une matrice stochastique si : π (x, y) ≥ 0 pour tous x, y ∈ E et z π(x, z) = 1 pour tous x ∈ E. 2) Soit π une matrice stochastique sur E. Une suite de variables aléatoires (Xn, n ∈ N) définies sur (Ω,a,P) à valeurs dans E est une chaîne de Markov de matrice de transition π si pour tous n ∈ N, x ∈ E, on a : P(Xn+1 = x /

; ce qui nécessite le calcul de la matrice de passage de la base (A, B, C) à la base (P1, P2, P3). II.1 Matrice de passage et matrice de covariance La matrice de passage s’obtient par diagonalisation de la matrice de covariance C associée aux Np points [Escofier, 1990]. En effet, calculer la matrice de covariance revient à faire l’approximation que les Np points font partie d’un ellipsoïde à trois dimensions (Figure 3) ; en diagonalisant cette matrice, on obtient : les axes de cet ellipsoïde

vectoriel de F dont les ´el´ements ont tous des composantes mutuellement ind´ependantes, H l’espace des matrices r´eelles de taille (P×P), H•S le sous-espace de F des vecteurs al´eatoires obtenus par une transformation affine issue de H d’un vecteur de S, IP la matrice identit´e de H, et T le sous-espace de H des matrices triviales (i.e. de la forme D_ o`u D est une matrice diagonale de H et _ une matrice de permutation de H

preliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.5.1 Determinant d' une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.5.2 Mineurs principaux d' une matrice . . . . . . . . . . . . 55 2.5.3 Matrice hessienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.5.4 Matrice hessienne bordee . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.5.5 Matrices denie positive et semi denie positive . . . . . 57 2.5.6 Matrices denie negative et semi denie negative . . . . 57 2.5.7 Caraterisation .

Montrer que l’on peut écrire les équations de Galerkin sous la forme matricielle : [K]{U} = {F} et donner la définition des termes de la matrice [K] et du vecteur {F}. Question 5) Le domaine Ω est maillé avec un maillage M d’éléments finis triangulaires à trois nœuds. Quelle est la dimension de la matrice de rigidité élémentaire ? Donner la dimension de la matrice [K], sachant que : • il y a N nœuds au total dans le maillage ; • sur la frontière Γ1, il y a N1 nœuds ; • sur la frontière

 i  h  i 2 i j 1 2 ij 2 i Communauté + spécificité ' Σ = ΛΛ + Ψ M2S3, 24 novembre 2009 9 Indépendance conditionnelle • Matrice de variance des manifestes et des facteurs  Σ Λ   Λ' I    Σ11   Σ 21 Σ12   Σ 22  Σ11/ 2  Σ11  Σ12  Σ 22  Σ 21 1 Σ x/f  Σ  ΛΛ '  Ψ Matrice diagonale: l’AF explique les corrélations M2S3, 24 novembre 2009 10 Indétermination des facteurs • Modèle surparamétré • Invariance par transformation

Gram(u, v) la matrice définie par : u·u u·v et G(u, v) = det[ Gram(u, v) ] Gram(u, v) = v·u v·v I.A.1) I.A.2) I.A.3) Montrer que : G(u, v) ≥ 0. On note P un sous-espace vectoriel de dimension 2 de E contenant u et v et B une base orthonormale de P . Vérifier que : G(u, v) = [ detB (u, v) ]2 À quelle condition a-t-on G(u, v) = 0 ? I.B - Dans toute la suite de la partie I, n est égal à 3 et E est orienté. Si u, v, w sont trois vecteurs quelconques de E , on note Gram(u, v, w) la matrice définie par :

I Dfinition II. Quelques matrices particulires III. Egalit de deux matrices IV Oprations sur les matrices IV. 1 Somme IV. 2 Multiplication dune matrice par un nombre IV. 3 Produit dune matrice par une matrice-colonne. IV. 4 Produit dune matrice-ligne par une matrice IV. 5 Multiplication de deux matrices IV. 5. 1 Dfinition IV. 5. 2 Multiplication de matrices carres. IV. 5. 3 Inverse dun matrice I Dfinition Une matrice est un ensemble de nombres disposs en un tableau ayant m lignes et n colonnes