Matrice densité

n   n ext , 0  n ext normale à la surface orienté vers l’extérieur et  est la densité surfacique de charge II.6 Pression électrostatique La force répulsive exercée sur la charge élémentaire dq = σdS d’une surface du conducteur par les autres charges, crée une pression : p  df  ; df  (  dS )  E et E  (# champ électrique créé dS 2 0 par un plan infini de densité surfaçique ) d’où, la pression électrostaique p 2 2 0 II.7 Capacité d’un conducteur

On considère une circonférence de rayon R et de centre O chargée positivement avec une  densité de charge linéique λ uniforme et constante.  1. Calculez le champ E(z) créé par cette circonférence en un point situé sur son axe OZ.  2. En déduire la valeur de z pour laquelle ce champ est maximum. Tracez la courbe de E(z).  Exercice 4:  Soit une couronne d’épaisseur négligeable de centre O, de rayon interne a et externe b. Cette  couronne est chargée positivement avec une densité surfacique uniforme et constante σ.  Calculez le cha

E sont isolés. On considère la tribu E = P(E). Matrices stochastiques Définition 9.3 Une matrice P = (P (x, y))x,y∈E est dite matrice stochastique si ses coefficients sont positifs et la somme sur une ligne des coefficients est égale à 1 : a. P (x, y) ≥ 0 ; � b. z∈E P (x, z) = 1 ; pour tous x, y ∈ E. On donne une nouvelle définition des chaînes de Markov basée sur les probabilités. Chaîne de Markov II Définition 9.4 Soit P une matrice stochastique sur E. Une suite de variables aléatoires

u(P) = P(X + 1) − P. 1. Déterminer Keru et Imu. 0 1 0 ...  . .. .. ..  . . . .  .  .. 2. Déterminer explicitement une base dans laquelle la matrice de u est  .   . ..  . . . 0 ... ... 1   0 .  .  .   0 .   1  0 Correction [005602] Exercice 6 ***  1 cos(a) cos(2a) cos(3a)  cos(a) cos(2a) cos(3a) cos(4a)   Rang de la matrice   cos(2a) cos(3a) cos(4a) cos(5a) . cos(3a) cos(4a) cos(5a) cos(6a)  Correction [005603] Exercice 7 *** Soit A = (ai, j )1 i, j A−1 .

matriciel 3 1.1 Dénitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Opérations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Multiplication par un scalaire . . . . . . . . . 1.2.3 Multiplication des matrices . . . . . . . . . . 1.3 Matrices élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Opérations élémentaires sur une matrice . . . 1.3.2 Application pour déterminer l'inverse d'une carrée . . . . . . . . . . . . . . .

( x + y)   6 x + 3y = 0  b) M admet trois vecteurs propres linéairement indépendants : elle est donc diagonalisable. ou dim E − 3 + dim E 3 = 2 + 1 = 3 = dim þ 3 ; M est diagonalisable. ou M est une matrice carrée réelle symétrique, donc elle est diagonalisable. Il existe alors une matrice carrée inversible P d’ordre 3 telle que M = P D P −1 , avec 0 0 1 2 − 1 − 3  1 0 5      1  −1 D =  0 − 3 0  , P =  0 1 − 2  et P =  2 2 2 . 6  0 −1 2 0 3 1 1     1 −2  c)

ALGEBRE LINEAIRE Fiche synthèse n°1 Matrices - Opérations * Nous rencontrons le calcul matriciel et les systèmes linéaires dans différentes disciplines : gestion, économie, recherche opérationnelle, statistique, programmation, optimisation, informatique, logistique, modélisation de situations économiques réelles etc.… * Une matrice peut être définie comme étant un tableau contenant n lignes et p colonnes. On repère généralement un élément d’une matrice par deux nombres donnés dans cet ordre :

Nationale LICENCE D’ÉCONOMIE ET DE GESTION Travaux Dirigés L2/S4 Année 2009/2010 Concepts mathématiques Matrice : On entend par matrice de format m x n à coefficients réels toute application : A : {1,2, …, m} x {1,2,…, n} → R Une matrice est donc une application dont le domaine de définition est très particulier. Pour cette raison et aussi pour des raisons de commodité d’écriture, on note aij l’image du couple i,j

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Exo7 Matrices Á Á Á Á Á Á Les matrices sont des tableaux de nombres. La résolution d’un certain nombre de problèmes d’algèbre linéaire se ramène à des manipulations sur les matrices. Ceci est vrai en particulier pour la résolution des systèmes linéaires. Dans ce chapitre, K désigne un corps. On peut penser à Q, R ou C. 1. Définition 1.1. Définition Définition 1 – – – – Une matrice A est un tableau rectangulaire d’éléments de K. Elle est dite de taille n £ p si le tableau possède n lignes et p