Loi des sinus

NOM GROUPE DATE 308 CHAPITRE 4 Savoirs 4.3 © 2015, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée LOI DES SINUS • Dans un triangle quelconque, les mesures des côtés sont proportionnelles au sinus des mesures des angles opposés à chacun des côtés. Dans le triangle ABC quelconque ci-contre, on a : 𝑎 sin A = 𝑏 sin B = 𝑐 sin C • La loi des sinus permet de déterminer la mesure  : − d’un côté si l’on connaît la mesure de deux angles et la mesure d’un côté ;

LINDER / Joris HOUDE / Joël LIENHART SOMMAIRE ------------------------------------------------- Par quels moyens peut-on déterminer la distance de la Terre à une étoile connue ? PARTIE MATHEMATIQUES 1) Explication : p.3 2) Loi des sinus : p.4 3) Résolution d'un triangle : p.6 a) Longueur de a : p.6 b) Longueur de b : p.7 PARTIE PHYSIQUE 1) Parallaxe diurne : p.8 a) Explication : p.8 b) Parallaxe horizontale : p

A. Si les droites (BC) et (B’C’) sont parall`eles, alors on a : AB’ AC’ B’C’ = = AB AC BC 4.2 Loi des sinus Soit un triangle A, B, C, d’angles α, β et γ respectivement en B, C et A. On note a la longueur BC, b la longueur AC et enfin c la longueur AB. Le¸con 21 : Proportionnalit´e et lin´earit´e 7 4 EXEMPLES Le but est ici de d´emontrer que les cˆot´es d’un triangle sont proportionnels aux sinus des angles oppos´es. On a donc : sin(β) sin(γ) sin(α) = = a b c D´ emonstration : . Tra¸cons la

Les vecteurs 4 Page 4 2) Le cosinus de cet angle aigu. 2) 2) 2) a. 1) Le sinus de cet angle aigu. 3) La tangente de cet angle aigu. b. 1) c. 1) d. 1) 4,76 cm 7,09 cm 75,96° 3,1 cm 8,89 cm 79,11° Page 5 Réactivation 2 a. Il s’agit d’un triangle scalène et obtusangle. b. Loi des cosinus : (m ND )2 c. À 124,5 km. m ND m PN sin D m PD sin N (m PN )2 (m PD )2 2(m PN )(m PD ) cos P d. Loi des sinus : sin P e. f. 9,58° 24,58° Mise à jour Page 8 1. a) c) 2. a) m c) m e)

Coordonnées à déterminer b1 α1 α2 b2 Ligne de base=d 21 •Connaissant deux angles et un côté, on peut dét t déterminer l i les autres élé t éléments d t du triangle •Pour cela on peut simplement appliquer le théorème des sinus 22 Loi des sinus Soit un triangle quelconque de cotés , , a,b et c, on a a/sinα =b/sinβ =c/sinγ =abc/2S S étant la surface du triangle triangle. S2 = p(p-a)(p-b)(p-c) , p=a+b+c P est l périmètre du triangle t le é i èt d t i l 23 Formulation D

Présentation du Devoir commun de mathématiques 4ème (31 mars 2009) Durée 2 heures Chaque élève doit posséder son propre matériel : tout prêt (calculatrice, règle, ….) est interdit. Lorsque les calculatrices sont autorisées les différentes étapes des calculs doivent figurer intégralement sur la copie. Le soin et la présentation compteront pour 2 points dans la notation. Le sujet comporte trois parties : un QCM sur les activités numériques, un QCM sur la géométrie, une troisième partie à rédiger

Fascisme, nazisme, stalinisme: un ou plusieurs totalitarismes dans l'entre-deux guerres? jdkdidhbdeghdzjbejvejvjer ; , et désignent respectivement les angles opposés à chacun des côtés , et ; et désigne l'aire du triangle. Sommaire [masquer] 1 Propriétés élémentaires 2 Points remarquables appartenant au cercle circonscrit à un triangle 3 Voir aussi 3.1 Article connexe Propriétés élémentaires[modifier | modifier le code] Les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes en un point

π/2 (90°) Sinα 0 1/2 √2/2 √3/2 1 Cosα 1 √3/2 √2/2 1/2 0 Tanα 0 √3/3 1 √3 N’existe pas Les triangles. Rectangles. Pythagore : a² = b² + c² Quelconques. a/Sinα = b/Sinβ = c/sinγ a = b/sinβ b = a * Sinβ Sinus d’une somme de 2 angles. Sin(α+β) = Sinα * Cosβ + Sinβ * Cosα Sinus d’une différence de 2 angles. Sin (α – β) = Cosα * Cosβ – Sinβ * Sinα Cosinus d’une somme de 2 angles. Cos (α + β) = Cosα * Cosβ – Sinβ * Sinα Cosinus d’une différence de 2 angles. Cos (α – β) = Cosα * Cosβ +

· Lieux et époque succesifs Les travaux indiens furent traduits plus tard et furent améliorés par les mathématiciens islamiques. Le mathématicien perse Muhammad ibn Mūsā al-Khuwārizmī produisit des tables des sinus et des tangentes, et apporta aussi sa contribution à la trigonométrie sphérique. Vers le Xe siècle, d'après l'œuvre d'Abu l-Wafa, il apparaît que les mathématiciens musulmans employaient chacune des six fonctions trigonométriques, et disposaient de tables à intervalles de 0,25°, avec

C mesure du côté adjacent à ∠ A mesure de l’hypoténuse C mesure du côté opposé à ∠ A mesure du côté adjacent à ∠ A A 1. a) 3 Activité d’exploration = cos B C A Le rapport trigonométrique sinus B sin A = sin 12° = B C mesure du côté opposé à ∠ A mesure de l’hypoténuse profondeur 14,1 2,93 ≈ profondeur La profondeur qui est associée à la mesure du premier segment est d’environ 2,93 m. C C