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Enoncés Exercice 9 Mines-Ponts MP [ 02776 ] [correction] Soient E1 et E2 deux espaces vectoriels normés réels, f une application de E1 dans E2 telle que pour tout compact K de E2 , f −1 (K) soit un compact de E1 . Montrer, si F est un fermé de E1 , que f (F ) est un fermé de E2 .

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Continuité et topologie
Exercice 1 [ 01123 ] [correction] Justifier que U = (x, y) ∈ R2 /x2 + y 2 < x3 + y 3 est un ouvert de R2 . Exercice 2 [ 01124 ] [correction] Montrer que GLn (R) est une partie ouverte de Mn (R).

Exercice 3 [ 01125 ] [correction] Soit E un espace vectoriel euclidien. Montrer que l’ensemble (x, y) ∈ E 2 /(x, y) libre est un ouvert de E 2 .

Exercice 4 [ 01126 ] [correction] Pour p ∈ {0, 1, . . . , n}, on note Rp l’ensemble des matrices de Mn (K) de rang supérieur à p. Montrer que Rp est un ouvert de Mn (K).

Exercice 5 [ 01127 ] [correction] Soient E et F deux espaces vectoriels normés et f : E → F . Montrer qu’il y a équivalence entre les assertions suivantes : (i) f est continue, ¯ (ii) ∀A ∈ P(E), f (A) ⊂ f (A), ¯ (iii) ∀B ∈ P(F ), f −1 (B) ⊂ f −1 (B), ◦ (iv) ∀B ∈ P(F ), f −1 (B ◦ ) ⊂ f −1 (B) .

Exercice 6 [ 01128 ] [correction] Montrer qu’un endomorphisme u d’un espace vectoriel normé E est continue si, et seulement si, {x ∈ E/ u(x) = 1} est fermé.

Exercice 7 Centrale MP - Mines-Ponts MP [ 01129 ] [correction] Montrer qu’une forme linéaire est continue si, et seulement si, son noyau est fermé.

Exercice 8 Mines-Ponts MP [ 02774 ] [correction] a) Chercher les fonctions f : [0, 1] → [0, 1] continues telles que f ◦ f = f . b) Idem avec dérivable

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Corrections a ∈ f −1 (B(f (a), ε)) . Par conséquent, il existe α > 0 tel que B(a, α) ⊂ f −1 (B(f (a), ε)). Ainsi nous obtenons ∀a ∈ E, ∀ε > 0, ∃α > 0, ∀x ∈ E, x ∈ B(a, α) ⇒ f (x) ∈ B(f (a), ε) ce qui correspond à la continuité de f .
◦

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Corrections
Exercice 1 : [énoncé] La fonction f : (x, y) → x3 + y 3 − x2 − y 2 est