Lemniscate de Bernoulli

[correction] [Lemniscate de Bernoulli] a) Etudier la courbe paramétrée définie par  sin t x =  1 + cos2 t   y = sin t cos t 1 + cos2 t b) On introduit les points F √ 1/ 2 0 et F √ −1/ 2 0 Exercice 18 [ 00593 ] [correction] Etudier la courbe d’équation polaire r = sin 4θ Exercice 19 [ 00595 ] [correction] Etudier la courbe d’équation polaire r = cos 3θ Exercice 20 [ 00596 ] [correction] Etudier la courbe d’équation polaire r = cos 3θ − 1 Exercice 21 [ 01317 ] [correction] Construire la lemniscate d’équation

 PRINCIPE DE BERNOULLI Travail de mathématique présenté à Mme Beaulieu Professeur de mathématique rédigé par Laurence Desbiens Collège Jean-de-Brébeuf Montréal 19 Septembre 2014 Table des matières Introduction…………………………………………..……...………….p.3-4 Informations sur Daniel Bernoulli…………………….……...p.4-5 Théorème de Bernoulli.........................................p.5-9 Cas d’un fluide parfait……………………………………….……….p.7 Théorème

π à chaque terme55. Vers la fin des années 1980, les frères Chudnovsky l’ont utilisée pour battre plusieurs records de décimales de π calculées. Elle demeure la formule la plus utilisée pour calculer π sur des ordinateurs personnels. Lemniscate de Bernoulli. Alors que les séries permettent d’obtenir des valeurs approchées de π avec un taux de précision supplémentaire à chaque terme qui est constant, il existe des algorithmes itératifs qui multiplient le nombre de décimales correctes à chaque

indépendantes, de loi uniforme sur [1, 3]. Déterminer la loi de la variable aléatoire S = X + Y en utilisant le produit de convolution. si (x, y) ∈ D sinon. 83 Corrigé Cet exercice est corrigé en annexe, sujet de mai 2008. Exercice 2.29 (Lemniscate de Bernoulli) Grâce à un changement en polaires, calculer l’intégrale : I= D a2 − x2 − y 2 dx dy, où D est le domaine limité par la courbe d’équation : (x2 + y 2 )2 = a2 (x2 − y 2 ), avec a > 0 fixé. Corrigé La première difficulté est de représenter

segment de droite [AB], de A(−1,0)vers B(1,1). ω dans les exemples suivants : (C) 12.2 Exemples de calculs d’aires planes a) Calculer l’aire de la boucle de l’arc paramétré x = t 3 − 3t, y = t 4 − 8t 2 . √ b) Calculer l’aire intérieure à la lemniscate d’équation polaire ρ = cos 2θ. 12.3 Exemples de calculs d’intégrales doubles Calculer les intégrales doubles D f (x,y) dx dy dans les exemples suivants : 1, 0 1, 0 y y x , x , f (x,y) = x 2 ex y f (x,y) = 1 (1 + x 2 )(1 + y2) . a) D

segment de droite [AB], de A(−1,0)vers B(1,1). ω dans les exemples suivants : (C) 12.2 Exemples de calculs d’aires planes a) Calculer l’aire de la boucle de l’arc paramétré x = t 3 − 3t, y = t 4 − 8t 2 . √ b) Calculer l’aire intérieure à la lemniscate d’équation polaire ρ = cos 2θ. 12.3 Exemples de calculs d’intégrales doubles Calculer les intégrales doubles D f (x,y) dx dy dans les exemples suivants : 1, 0 1, 0 y y x , x , f (x,y) = x 2 ex y f (x,y) = 1 (1 + x 2 )(1 + y2) . a) D