Intégrale de Stieltjes

de mesure définie par une fonctionnelle linéaire et continue sur l’espace D0 des fonctions continues à support borné. Distributions régulières On examine maintenant des distributions particulières, nommées distributions régulières, définies par une intégrale et qui permettent d’associer de manière univoque une fonction localement sommable (c’est à dire sommable sur tout ensemble borné) et la distribution qui lui est associée. Nous utiliserons pour simplifier la même notation pour désigner une fonction

philosophe néoplatonicien qui vécut à Alexandrie au VIe siècle, a placé une biographie de Platon au début de son Commentaire de l'Alcibiade. 8. ↑ a, b et c Robin 1935, p. 2 9. ↑ Pierre Pellegrin, Platon : Apologie de Socrate, Nathan, coll. « Les Intégrales de philo » (lire en ligne). 10. ↑ Entretiens, I, 8, 13 11. ↑ Iconoq. grecq., I, 169, pl. XVIII 12. ↑ a et b Vies, doctrines et sentences des philosophes illustres (Livre III, 1) 13. ↑ pédotribe 14. ↑ les lutteurs argiens étaient réputés 15. ↑ disciple

on peut écrire : F (x) 5 Prx ]−∞, x[ 5 F (x) 5 R 1]−∞, x[ d Prx 5 f (x) d x 5 R 1]−∞, x[ f (x) d x ]−∞, x[ ]−∞, x] f (x) d x 1[a,b] est la fonction caractéristique de l’intervalle [a, b] (voir annexe 2). Les deux dernières intégrales sont égales car un ensemble réduit à un point est un ensemble de mesure de Lebesgue nulle. Si de plus f est continue en x, F est dérivable et F (x) 5 f (x). On peut alors écrire : Pr (a X < b) 5 a b f (x) d x 5 F (b) − F (a) Les figures 4

une densité f , on peut écrire : F (x) 5 Prx ]−∞, x[ 5 F (x) 5 R ]−∞, x[ 1]−∞, x[ d Prx 5 f (x) d x 5 R ]−∞, x] 1]−∞, x[ f (x) d x f (x) d x 1[a,b] est la fonction caractéristique de l’intervalle [a, b] (voir annexe 2). Les deux dernières intégrales sont égales car un ensemble réduit à un point est un ensemble de mesure de Lebesgue nulle. Si de plus f est continue en x, F est dérivable et F (x) 5 f (x). On peut alors écrire : Pr (a b X < b) 5 f (x) d x 5 F (b) − F (a) a Les figures 4.3

peut écrire : F (x) 5 Prx ]−∞, x[ 5 F (x) 5 R ]−∞, x[ 1]−∞, x[ d Prx 5 f (x) d x 5 R ]−∞, x] 1]−∞, x[ f (x) d x f (x) d x 1[a,b] est la fonction caractéristique de l’intervalle [a, b] (voir annexe 2). Les deux dernières intégrales sont égales car un ensemble réduit à un point est un ensemble de mesure de Lebesgue nulle. Si de plus f est continue en x, F est dérivable et F (x) 5 f (x). On peut alors écrire : Pr (a b X < b) 5 f (x) d x 5 F (b) − F (a) a Les

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de covariance qui a bien un sens. La propriété A8 est intéressante mais elle ne semble pas très importante. Cependant, on peut noter que si ht (ω) est positive, on peut toujours construire sa transformée de Fourier ou une transformée de Fourier-Stieltjes, mais rien ne garantit que ces quantités aient un sens, par exemple interprétable comme c’est le cas de la fonction de covariance. Plus précisément, la condition A8 suggère qu’on définisse au voisinage de chaque instant t0 une fonction de covariance