Inégalité arithmético-géométrique

en multipliant chaque membre de l’hypothèse de récurrence par k + 1 qui est positif, on obtient (k + 1) × k ! ≥ (k + 1) × 2k −1 c’est-à-dire (k + 1) ! ≥ (k + 1) × 2k −1 (1) or, pour tout k ≥ 1, k + 1 ≥ 2 donc (k + 1) × 2k −1 ≥ 2k (2) ) et les inégalités (1) et (2) conduisent à (k + 1 ! ≥ 2k . Finalement, pour tout entier naturel n ≥ 1, on a : n !≥ 2n −1 . b) n 1 2 3 4 n! 1 2 6 24 2n 2 4 8 16 À l’aide de ce tableau, on constate que la proposition « n !≥ 2n » n’est pas vraie pour

1 1 1,80 1,25 2 1,67 1,5 3 1,57 1,75 4 1,50 2 5 1,44 2,25 6 1,40 2,5 7 1,36 2,75 8 1,33 3 9 1,31 3,25 10 1,29 3,5 La suite (vn) semble être une suite géométrique de 1 raison . 2 1n . Conjecture : pour n Œ‫ގ‬, v n = 2 2. Pour n Œ‫ގ‬, v n (un - 1) = un - 3 € v -3 un (v n - 1) = v n - 3 € un = n vn - 1 () n n n n 1 1 -3 3+( ) ( ) 2 2 = . donc, pour n Œ‫ގ‬, u = 1 1 -(

disposition des élèves sur le site compagnon, intégralement ou partiellement complétés, plus particulièrement lorsque le problème consiste, soit à modifier, compléter ou corriger un algorithme, soit à réaliser des conjectures sur une configuration géométrique relativement complexe, ou bien encore à effectuer des simulations sur une feuille de calcul d’un tableur. Ils serviront ainsi de base de travail pour une activité en autonomie ou pour un devoir à réaliser à la maison. Nous espérons que ce

positif strictement inférieur à 1. un+1 1. Démontrer que si lim = l, alors la série un converge. n→+∞ un un+1 Indication : écrire, judicieusement, la définition de lim = l, puis majorer, pour n assez grand, un n→+∞ un par le terme général d’une suite géométrique. n! ? 2. Quelle est la nature de la série nn n 1 Corrigé exercice 6 1. Par hypothèse : ∀ ε > 0, ∃ N ∈ N/ ∀n 1−l . 2 Fixons un entier N vérifiant (1). un+1 − l| Alors ∀ n ∈ N, n N =⇒ | un un+1 1+l Et donc, ∀n N, . un 2 1+l On pose q = . On a q ∈

autorités publiques – en l’occurrence l’onu – allouent des droits à émettre du gaz carbonique. La deuxième est la fonction dite de redistribution. L’État démocratique cherche en général à corriger la répartition initiale des revenus afin de réduire les inégalités. Il agit en conformité avec la vision que la société se fait de la justice sociale. Pour atteindre le résultat voulu, il dispose de la fiscalité. Mais il peut améliorer la situation des catégories sociales jugées a priori comme défavorisées en