Inégalité arithmético-géométrique

déduit que si |f (x)| ≤ M alors 1 |f (x0 + h) − f (x0 ) − f (x0 )h| ≤ h2 M 2 3. Suite arithmético-géométrique un+1 = aun + b si (un ) tend vers une limite l, cette limite l vérifie la relation l = al + b d’où l= b 1−a on pose alors vn = un − l et un calcul élémentaire donne vn+1 = avn , donc (vn ) et (un ) convergent ssi | a |< 1 (suite géométrique). 4. On reprend ce qui a été fait précédemment avec une inégalité (a>0). Soit (un ) une suite telle que un+1 ≤ aun + b on pose comme précédemment vn =

complexes 49 6.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 Propriétés algébriques . . . Conjugué et module . . . . Équations du second degré . Propriétés géométriques . . Exponentielle complexe . . Cercles et rotations . . . . Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(x2 ) . f (x2 ) . • f est croissante sur I si I ⊂ D f et • f est décroissante sur I si I ⊂ D f et • f est monotone sur I si elle est croissante sur I , ou décroissante sur I . © Dunod – La photocopie non autorisée est un délit. • Avec des inégalités strictes, on définit : f strictement croissante, strictement décroissante, strictement monotone, sur D f . 2.4 Extremum ∀x ∈ D f f (x) f (x0 ) (resp. f (x) f (x0 )). • f admet un maximum (resp. minimum) global en x0 si : • f admet un maximum

= n + 1. RAISON D’UNE SUITE • Dans une suite arithmétique, on passe d’un terme au suivant en ajoutant toujours un même nombre r, appelé raison de la suite arithmétique. • Dans une suite géométrique, on passe toujours d’un terme au suivant en multipliant par un même nombre q, appelé raison de la suite géométrique. 6 Suites n couple de lapins, né le 1er janvier, donne naissance à un autre couple de lapins, chaque mois, dès qu’il a atteint l’âge de deux mois. Les nouveaux couples suivent la même loi

(x2 ) . f (x2 ) . • f est croissante sur I si I ⊂ D f et • f est décroissante sur I si I ⊂ D f et • f est monotone sur I si elle est croissante sur I , ou décroissante sur I . © Dunod – La photocopie non autorisée est un délit. • Avec des inégalités strictes, on définit : f strictement croissante, strictement décroissante, strictement monotone, sur D f . 2.4 Extremum ∀x ∈ D f f (x) f (x0 ) (resp. f (x) f (x0 )). • f admet un maximum (resp. minimum) global en x0 si : • f admet un maximum

. . . 6.2.4 Fonction de répartition . . . . . . . . 6.3 Espérance d’une variable aléatoire . . . . . . 6.3.1 Généralité . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.2 Espérance conditionnelle . . . . . . . 6.3.3 Théorème de transfert et applications 6.3.4 Inégalités de Markov . . . . . . . . . 6.4 Variance et covariance . . . . . . . . . . . . 6.4.1 Variance, écart type et autre moments 6.4.2 Covariance . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.1 Pour les TD . . .

n ) i n + 1 = 0,1 – 0,1 i n X n = colonne des inconnues ( p n ; i n ) le modèle de croissance s’écrit : X n + 1 = M X n ( on multiplie tous les ans par M ) ( suite géométrique de raison M ) Û X n = M n X 0 donc si on connaît ( p 0 ; i 0 ) = profit et investissement initiaux et si on sait calculer M n, on peut prévoir l’évolution simultanée du profit et de l’investissement

= an + 2bn d’où : 3 an + 2bn 2 – an = (bn – an). 3 3 2 . 3 b. Pour connaître la quantité au litre près, il faut connaître la valeur de a à 0,001 près. n ⎛ 2⎞ Il faut donc connaître quand 9 × ⎜ ⎟ < 0,001 soit n > 22. ⎝ 3⎠ La suite w est donc géométrique de raison Soit a≈ 4 608 L. 3 Somme de termes infiniment petits Le TP montre aux élèves que la somme de terme tendant vers 0 peut tendre vers l’infini ou vers un nombre fini selon les cas. Les suites étant données sous forme explicite, le

Démontrer que, pour tout réel x 0, 1 x − x2 2 ln(1 + x) x. 2. En déduire la valeur de n 1+ lim n→∞ k=1 k . n2 On pourra préalablement démontrer que n 1 k 2 = n(n + 1)(2n + 1). 6 k=1 1. Pour établir une inégalité de la forme ∀x ∈ I, f (x) g(x) on peut introduire la fonction g − f et étudier son signe sur I. Dans les cas qui nous intéressent ici, la dérivée se calcule sans peine, ce qui permet de conclure aisément. Pour x ∈ R+ posons u(x) = ln(1 +

1/e). Or : ( ∀n ∈ N, vn &gt; e ) ⇒ ` &gt; e, donc ` 6= 0 et ` 6= 1/e. Contradiction : donc v diverge, et comme v est croissante, v diverge vers +∞. 3. u vérifie la relation de récurrence : ∀n ∈ N, un+1 = ln(ev2n) = 1 + 2un : c’est une suite arithmético-géométrique. Avec u0 = 1, on obtient : ∀n ∈ N, un = 2n+1 − 1. Alors : ∀n ∈ N, vn = exp(2n+1 − 1) −−−−−→ n→+∞ +∞. Exercice 10. On considère la suite (un)n∈N définie par u0 = 1 et ∀n ∈ N, un+1 = ln(un + 1). 1. Montrer que la suite (un)n∈N est bien définie