Fonction zêta de Riemann

l’université Bordeaux I en première année de Master durant les années universitaires 2007-08, 200809, 2009-10 et 2010-11. Le contenu de ce polycopié est exactement ce que j’ai traité devant les étudiants. Pour aller plus loin dans la théorie des fonction holomorphes d’une variable complexe, le lecteur pourra consulter les ouvrages cités dans le bibliographie. Les exercices en fin de chapitre correspondent aux listes d’exercices distribuées par A. Yger au cours de l’année universitaire 2010-2011.

. . . . . . . . . 99 Analyse 107 16. Ensembles, fonctions et hypothèse du continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 17. À la gloire des inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 18. Un théorème de Pólya sur les polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 19. Sur un lemme de Littlewood et Offord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 20. La fonction cotangente et l’astuce de Herglotz . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . 1 Rappels de cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 Rappels d’analyse 1.2 Les fonctions utilisées en physique Fourier 1.4 Les fonctions définies par des intégrales 1.3 Les Séries de 9 Énoncés des problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Du mal à démarrer

Hilbertienne Cours de DEA, 1er semestre 2003-04 Jean-François Burnol version du 23 juin 2004 1. Résumé du cours. Mots-clés : Espaces de Hardy, factorisation, théorèmes de Beurling. Théorèmes de Wiener et de Paley-Wiener. Théorèmes de Beurling-Lax. Fonctions de Nevanlinna. Théorème de Kre˘ ın. 2. Énoncé et corrigé du devoir à la maison. 3. Énoncé et corrigé de l’examen. 4. Énoncé de l’examen de rattrapage. Ce résumé suit de très près le déroulement réel du cours, d’octobre 2003 à début janvier 2004

si affinit´es. . . Charles SUQUET DEUG MIAS 2 et MASS 2 2002–2003 Table des mati` eres 1 Espaces Probabilis´ es 1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ enements . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Ev´ 1.3 La probabilit´e comme fonction d’ensembles 1.4 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Remarques sur le choix d’un mod`ele . . . . 1.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Conditionnement et ind´ ependance 2.1 Probabilit´es conditionnelles . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . 1.3 Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fonctions de références 2.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . 2.2 Les fonctions puissances entières 2.3 Fonction valeur absolue . . . . . 2.4 Fonction racine carrée . . . . . . 2.5 Fonction inverse . . . . . . . . . 2.6 Fonction exponentielle . . . . . 2.7 Fonction logarithme . . . . . . . 2.8 Exercices . . . . . . . . . . . . 2.9 Solutions des exercices . . . . . 15 15 16 16 19 19

. . . . . . . 46 47 47 47 49 51 53 53 54 54 55 56 56 57 58 61 61 62 63 64 65 66 66 68 69 71 71 71 72 72 72 73 75 76 77 77 77 78 79 80 80 80 81 81 84 85 3.4 4 Étude des fonctions numériques 4.1 Limites, continuité en un point 4.2 Continuité sur un intervalle . . 4.3 Dérivabilité . . . . . . . . . . 4.4 Fonctions convexes . . . . . . 4.5 Exercices . . . . . . . . . . . 4.5.1 Pour les TD . . . . . . 4.5.2 Pour les DL . . . . . . 4.5.3 Autres exercices . . . . . . . . . . . . . . . .

relativement jeune : elle ´emerge (sous le nom d’analysis situs) au d´ebut du vingti`eme si`ecle dans les travaux de Hausdorff et de Tychonoff. Le besoin d’une telle th´eorie s’est d´ej` a fait sentir `a la fin du dix-neuvi`eme si`ecle dans les travaux de Riemann et de Hilbert. Dans la recherche actuelle, la topologie joue un rˆole fondamental aussi bien en Analyse Fonctionnelle qu’en G´eom´etrie Diff´erentielle ou encore en Topologie Alg´ebrique. Ce cours (de 13 s´eances d’une heure et demi) n’est cependant

problèmes mathématiques qui ne peuvent être traités simplement avec une feuille et un stylo. Les questions classiques du Calcul Scientifique sont abordées : la recherche des zéros ou le calcul d’intégrales de fonctions continues, la résolution de systèmes linéaires, l’approximation de fonctions par des polynômes, la résolution approchée d’équations différentielles. En préambule à tous ces aspects, nous présentons au Chapitre 1 la manière dont les ordinateurs stockent et manipulent les nombres réels

logiciel Sage. Ces systèmes offrent une multitude de fonctionnalités, et trouver comment résoudre un problème donné n’est pas toujours facile. Un manuel de référence fournit une description analytique et en détail de chaque fonction du système ; encore faut-il savoir le nom de la fonction que l’on cherche ! Le point de vue adopté ici est complémentaire, en donnant une vision globale et synthétique, avec un accent sur les mathématiques sous-jacentes, les classes de problèmes que l’on sait résoudre et les