Fonction zêta de Riemann

SESSION 2007 CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE EPREUVE SPECIFIQUE-FILIERE MP MATHEMATIQUES 1 EXERCICE a. f est continue sur le compact [0, 1]2 en tant que quotient de fonctions continues sur [0, 1]2 dont le dénominateur ne s’annule pas sur [0, 1]2 , à valeurs dans R. On sait alors que f admet un maximum sur ce compact. b. f est de classe C1 sur l’ouvert ]0, 1[2 . On sait alors que si f admet un maximum en un point (x0 , y0 ) de cet ouvert, (x0 , y0 ) est un point critique de f. Or, pour (x

l'article sur les notations de Landau). Une meilleure approximation, avec une estimation de l'erreur, est donnée par la formule : \pi(x)={\rm Li} (x) + O \left(x e^{-\frac{\sqrt{\ln(x)}}{15}}\right) pour de grandes valeurs de x (Li est la fonction logarithme intégral). Le tableau suivant illustre les écarts entre π(x) et ses approximations, \frac{x}{\ln(x)} et Li(x) : x π(x) π(x) - x / ln(x) Li(x) - π(x) x / π(x) 101 4 0 2 2,500 102 25 3 5 4,000 103 168 23 10 5,952

(t ) dt . 0 a) Calculer C0 et C1. b) Pour n 2, exprimer Cn en fonction de Cn−2. c) En déduire les valeurs de C2n et de C2n+1. d) Calculer lim n→+∞ C2 n . C2 n + 1 π 2 2n + 1 n ¢ e) En déduire : ¡ (2n)!! ~ (2n − 1)!! 2. On pose In = π 2 2 0 t cos2 n (t ) dt et un = 2 (∀n p =1 1 . p2 a) Démontrer que un b) Pour tout n 1). En déduire que (un) admet une limite ξ. 1, exprimer In en fonction de In−1. c) En déduire que π 4 π6 (2n)!! In. − un = 6 (2n

La fonction indicatrice de l’ensemble des rationnels Souvent, beaucoup d’élèves de ma classe de terminale S sont très faibles en mathématiques (cependant qu’ils se débrouillent ou surnagent approximativement dans d’autres disciplines). Je ne peux donc pas fréquemment quitter le strict cadre de la préparation à l’épreuve du baccalauréat et je donne des devoirs (facultatifs) à la maison pour ceux de mes élèves, hélas peu nombreux, qui continueront l’an prochain à étudier les mathématiques ou la

•9 février 2011 - 18 h 30 "La découverte de Fourier : Même le feu est régi par les nombres" Jean-Pierre Demailly (Professeur à l'université Joseph Fourier de Grenoble, Académie des Sciences) •23 mars 2011 - 18 h 30 "Les mystères de la fonction zêta de Riemann" Antoine Chambert-Loir (Professeur à l'université de Rennes, membre junior de l'IUF) •6 avril 2011 - 18 h 30 "Laplace, le hasard et ses lois universelles" Alice Guionnet (Directrice de recherche CNRS à Lyon, médaille d'argent du CNRS)

un pour tout n. 2. On suppose maintenant que u0 = 3 et pour α ∈ R on d´ finit la suite (vn ) par e vn = un + α, ( n ∈ N) a) Montrer qu’il existe une valeur de α pour laquelle (vn ) est g´ om´ trique de e e raison 1/3. b) Exprimer alors vn en fonction de un et n. c) En d´ duire que (un ) est convergente et calculer sa limite. e Exercice 2: 1. Pour x ∈ R, calculer e x + e− x 2 2 − e x − e− x 2 e x −e− x . 2 2 2. Soit f l’application de R dans R telle f ( x ) = a) Etudier les

s’effectue essentiellement de façon cloisonnée dans divers endroits du globe. À partir du XIXe et surtout au XXe siècle, le foisonnement des travaux de recherche et la mondialisation des connaissances mènent plutôt à un découpage de cette histoire en fonction des domaines de mathématiques. 2 Préhistoire L'os d'Ishango datant de 20000 ans avant notre ère est généralement cité pour être la première preuve de la connaissance des premiers nombres premiers et de la multiplication[réf. nécessaire], mais

. . . . . . . . 2.1.5 Comparaison des suites de référence . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.6 Inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Trigonométrie hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Fonctions circulaires réciproques et hyperboliques réciproques 2.2.3 Inégalités usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Limites . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C Fonctions de la variable réelle C.1 Fonctions continues . . . . . . . . . . . . C.2 Dérivation des fonctions à variable réelle C.3 Variation des fonctions . . . . . . . . . . C.4 Développements limités . . . . . . . . . . C.5 Suites de fonctions . . . . . . . . . . . . C.6 Intégrale des fonctions réglées . . . . . . C.7 Calculs des primitives . . . . . . . . . . . C.8 Fonctions intégrables . . . . . . . . . . . C.9 Équations différentielles

. . . . . . . . . . . . . . . . 3 Intégrale de Riemann et intégrale généralisée 3.1 Intégrales des fonctions en escalier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Fonctions intégrables, intégrale de Riemann . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Calcul des primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Intégration d’un produit de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Méthodes d’approximation