Constant Ier

l’ensemble des primitives de f sur I est l’ensemble des fonctions G telles que G(x)=F(x)+C avec CЄℝ » Si G est une primitive de f sur I alors G est dérivable sur I et G’(x)=f(x) donc G’(x)=F’(x) On pose (x)=G(x)-F(x) alors ’(x)=0 donc est une fonction constante sur I donc il existe un réel C tel que pour tout x de I C=F(x)-G(x). Réciproquement si G est définie sur I par G(x)=F(x)+C alors G est dérivable sur I et G’(x)=F’(x)=f(x) Donc G est une primitive de f sur I « Soit f une fonction définie sur un

Na+(aq)) de concentration en soluté apporté C2 = 0,40 mol.L-1 a pour valeur pH2 = 8,7. 1. a) Écrire l’équation de la réaction entre l’acide nitreux et l’eau. Donner l’expression de sa constante d’équilibre. b) Écrire l’équation de la réaction entre l’ion méthanoate et l’eau. Donner l’expression de sa constante d’équilibre. 2. a) Sur l’axe des pH, donné en annexe à rendre avec la copie, placer les domaines de prédominance des deux couples acide/base mis en jeu. b) Préciser l’espèce

Démonstration Soit h la fonction définie par h(x) = f (x).f (-x). Cette fonction est dérivable sur
, sa dérivée est h' (x) = f '(x) × f (-x) + f(x) × f '(-x) × (-1); comme f '(x) = f (x) et f '(-x) = f (-x), on trouve h'(x) = 0. La fonction h est donc constante, et pour tout réel x, h(x) = h(0) = f (0) × f (0) = 1. Ainsi, pour tout réel x, f (x).f (-x) = 1, ce qui montre que f (x) ne peut pas être égal à 0. b) Il n'existe qu'une seule fonction f dérivable sur
, telle que f ' = f et f (0) = 1. Démonstration

que lorsque la droite monte, sa pente m est positive ; lorsqu’elle descend, sa pente est négative ; pour une droite horizontale, la pente est nulle. Enfin, une droite verticale « a une pente infinie » : son équation est du type x = k où k est une constante. N’hésitez pas à aller vous entraîner avec l’activité suivante : http://mathemitec.free.fr/animations/comprendre/droite-geop/index.php II – Nombre et fonction dérivée L’idée générale de cette partie exploite la réciproque du résultat précédent

sur l’intervalle ]0, +∞[. D’après le théorème 2, la fonction f : : x → ln(u(x)) est dérivable sur ]0, +∞[ et pour tout réel x > 0 f (x) = 2 1 u (x) = = . u(x) 2x x Pour tout réel x > 0, posons u(x) = ln 2 et v(x) = ln x. La fonction constante u et la fonction v sont dérivables sur l’intervalle ]0, +∞[. D’après le théorème 3, la fonction g est dérivable sur ]0, +∞[ et pour tout réel x > 0 g (x) = u (x) + v (x) = 0 + 1 1 = . x x Pour tout réel x > 0, f (x) = g (x) = 1 .

Définition Une fonction f définie sur ℝ est une fonction affine s'il existe deux réels a et b tels que pour tout réel x, f(x) = ax + b. Pour calculer l'image d'un réel x, il suffit donc de multiplier x par le coefficient a, puis d'ajouter la constante b. Exemples : 1. soit f définie par f(x) = 2x - 5; f(x) est bien de la forme ax + b avec a=2 et b=-5, c'est donc une fonction affine. 2. soit g définie par g(x) = -x + 2; on a g(x) = -1x + 2, g(x) est bien de la forme ax + b avec a=-1 et b=2

condensateur et tension a ses bornes e ` Soit un montage contenant un g´n´rateur de courant constant, une r´sistance et un condensateur. e e e Le graphique repr´sentant la tension en fonction du temps du condensateur (Uc) ` courant constant est une e a droite passant par l’origine. Ainsi, on a Uc(t)=kt avec k, un r´el. e dq dt On int`gre pour trouver la primitve ce qui nous donne q(t)=it+A e Pour trouver A (constante d’int´gration), on utilise les conditions initiales. e A t=0, on a q=0 A 0 Soit 0 i ¢

décroissante sur I signifie que pour tous réels a et b de I : si a < b alors . - Dire que f est constante sur I signifie que pour tous réels a et b de I : . - Dire que f est monotone sur I signifie que f est soit croissante sur I, soit décroissante sur I. Remarques : - On dit qu’une fonction croissante conserve l’ordre. - On dit qu’une fonction décroissante renverse l’ordre. - Une fonction constante sur I peut être considérée comme croissante et décroissante sur I. 3. Maximum ; minimum

rapport à l'ordre des antécédents. Remarque : Si f est une fonction strictement décroissante sur I alors ∀ a ∈ I et b ∈ I tels que a < b on a f(a) > f(b). ● Définition 3 : ● Si f est une fonction constante sur I alors ∀ a ∈ I et b ∈ I tels que a  b on a f(a) = f(b). Une fonction f est constante si et seulement si les images sont identiques quelque soient les antécédents. Page 3 / 18 ©Vincent Obaton Les fonctions de référence Lycée Stendhal ( Grenoble ) I.3 Parité Fonction paire

x0 n'est pas moyennable. 4. Cas particuliers. T →+∞ (a) Soit x une fonction continue non constante de B, périodique de période P > 0 . (a-1) Montrer que x n'admet pas de limite en +∞. (a-2) Montrer que x n'admet pas de limite en −∞. (a-3) Montrer que pour tout réel a : aa+P x(t)dt = 0P x(t)dt. (a-4) En déduire que x est moyennable et donner sa moyenne. (b) Montrer qu'une fonction constante est moyennable et donner sa moyenne. (c) Soit x une fonction de B telle que lim x(t) = c, où c est