Avenue Diagonale

ensuite X. AX=λIX AX-λIX=0  (A - λ I) X = 0 Ce système admet une solution si det (A-λI) = 0. VII.Diagonalisation d’une matrice Toute matrice carrée d’ordre n possédant n valeurs propres distinctes est réductible à la matrice diagonale. A’ est la matrice diagonale réduite de A. A et A’ sont semblables mais ne sont pas exprimés dans la même base. La matrice A’ est exprimée dans la base des vecteurs propres u1, … un associés aux valeurs propres λ1, … λn. 4  Diagonalisation d’une matrice

par : K − ω M y =0 (4) Ce système linéaire admet n valeurs réelle λ = ω , et n vecteurs propres associés y , on regroupe les valeurs propres λ propres y dans la matrices modale Y. Λ= λ . λ . dans la matrice spectrale diagonale Ʌ et les vecteurs λ ; Y= y … y … y (5) On peut montrer facilement que les vecteurs propres satisfont des propriétés d’orthonormalité relativement aux matrices M et K. En effet, pour deux valeurs propres particulières

Iinéaires. une orthogo formati01 La déco d' expriÚ matrice , Ce résu matricii vecteu Théorème Pour toute matriceA e R" XP, il existe deux matrices orthogonales U e W XP et Ve R" XP telles que : 01 0 0 avec 01 è02è ou m: min(p, n). La matrice diagonale S est composée par les valeurs singulières Oj ordonnées par valeurs décroissantes. Les valeurs singulières oj sont les racines carrées des valeurs propres de la matrice symétrique défime positive ATA ou de la matriceAAT si m < n. La matrice V associée

- Lorsque n=p , on dit que M est une matrice carrée d'ordre n (il y a exactement le même nombre de lignes et de colonnes). - La matrice identité d'ordre n est la matrice carrée d'ordre n dont tous les coefficients sont nuls sauf ceux de la diagonale principale qui sont égaux à 1. On la note Définition : Dire que deux matrices sont égales signifie qu'elles ont le même format et Ce document a été téléchargé sur http://www.mathovore.fr - Page 1/2 que les nombres qui occupent la même

n∈IN Peut-on parler de : n (6A+B+C) n entier négatif , Corrigé 1) Les trois matrices sont diagonales, il suffit de reporter les calculs sur les termes diagonaux homologues des trois matrices : −5 0 2A-3B+4C = 0 55                 Corrigé Le déterminant d’une matrice diagonale est égal au produit des termes diagonaux : 1 0 det(A-B+2C)= = 22 0 22 det((A-B+2C) )=(det(A-B+2C)) 3 = 22 =10648 3 3 Corrigé 2) De même

IV- Noyau et image d’une application linéaire V- Applications linéaires injectives et surjectives VI- Rang d’une application linéaire Chapitre 3 : Matrices I- Généralités (définition, matrices particulières) II- Matrices carrées 1. Matrice diagonale, Matrice triangulaire 2. Matrice symétrique, Matrice antisymétrique III- Opérations sur les matrices 1. Addition, Multiplication, Puissance 2. Propriétés de l’ensemble des matrices 3. Matrice inversible IV- Matrice inverse : Méthode de Gauss-Jordan

taille n×n. Ex : 1 4 5 3 est une matrice carrée 2×2. c) Matrice diagonale Une matrice diagonale est une matrice carrée dont tous les éléments sont nuls sauf éventuellement les ai,i (qui sont situés sur une diagonale). Autrement dit : ai,j = 0 si i j. Ex : 1 0 0 0 5 0 0 0 3 − est une matrice diagonale. d) Matrice unité (ou identité) Une matrice unité est une matrice diagonale qui n’a que des 1 sur la diagonale (ai,i = 1). La matrice unité de taille n×n est parfois notée In. Ex :

la pseudoinverse de la matrice A de dimension m × n, avec m > n, est définie par −1 T A+ = AT A A . La factorisation SVD de A est A = U ΣV T où U est une matrice orthogonale m × m, V est une matrice orthogonale n × n et Σ est une matrice diagonale de dimension m × n avec σij = 0 σi pour i = j, pour i = j et σi sont les valeurs singulières de A. Finalement le pseudoinverse est aussi donnée par A + = V Σ+ U T . La factorisation QR de A est A=Q R 0 où Q est une matrice

Une matrice carrée est une matrice de form n: Exempl e: 6 Définitio n: La diagonale principale d’une matrice carrée est l’ensemble des éléments de la forme 7 Définitio Une matrice triangulaire supérieure n: (inférieure) est une matrice carrée dont tous les éléments sous (au dessus) la diagonale principale sont nuls. 8 Définitio Une matrice identité est une matrice carrée n: dont les éléments de la diagonale principale sont tous 1 et les autres sont tous nuls. 9 Définitio Une matrice

0      0 1 −1   −1 1 0  0 −1 −3 −2 0 1  L3 + L2 → L3 1 0 0 1 1 2     −1 1 0  0 1 −1    −3 1 1 0 0 −4 Après transformations élémentaires, la matrice qui apparait à gauche est triangulaire supérieure, et les coefficients sur la diagonale sont tous non nuls. On en déduit que A est inversible. On trouve son inverse en poursuivant la méthode.            −1 4 L3  1 1 2 1 0 0     1 0  0 1 −1   −1  0 0 1 3/4 −1/4 −1/4 → L3 L1 − 2L3 → L1 1 1 0 −1/2 1/2