Avenue Diagonale

maths.txt Propriétés des matrices triangulaires[modifier] Une matrice triangulaire à la fois inférieure et supérieure est une matrice diagonale. Le produit de deux matrices triangulaires inférieures (respectivement supérieures) est une matrice triangulaire inférieure (respectivement supérieure). Plus généralement l'ensemble des matrices triangulaires supérieures (resp inférieures) est une sous algèbre (non commutative) de Mn(K), ensemble des matrices de taille n a valeur dans le corps K. La transposée

sa racine carré sj est l’écart-type et j i=1 i 1 k vkl = n n (xi − xk )(xl − xl ) est la covariance des variables k et l. ¯ ¯ i i=1 On appelle matrice de variance la matrice symétrique V contenant les variances s2 sur la diagonale j et les covariances vkl en dehors de la diagonale (ligne k colonne l pour vkl ). Cette matrice s’écrit : V = 40 1 t 1 X X − gg t = Y t Y. n n (2) 45 50 De même, on définit le coefficient de corrélation linéaire entre les variables k et l par rkl = svkkll

matrice est sym´etrique r´eelle donc est diagonalisable en base orthonorm´ee, c’est-`a-dire il existe une base orthonorm´ee de E dans laquelle la matrice de f ◦ f est diagonale avec pour ´el´ements diagonaux les valeurs propres de f ◦ f . Si les valeurs propres de f ◦ f ´etaient toutes nulles, on en d´eduirait que cette matrice diagonale serait la matrice nulle et donc que l’endomorphisme f ◦ f de E serait nul. Or f est suppos´e non nul, donc il existe x ∈ E tel que f (x) = 0, donc f ◦ f (x) = 0 puisque

de A, (concat´enation des vecteurs colonnes de A) coefficient d’ordre i dans l’indexation lin´eaire coefficients diagonaux de A `res Matrices particulie zeros(m,n) ones(m,n) eye(n) diag(x) magic(n) rand(m,n) randn(m,n) matrice nulle de taille m,n matrice de taille m,n dont tous les coefficients valent 1 matrice identit´e de taille n matrice diagonale dont la diagonale est le vecteur x carr´e magique de taille n matrice de taille m,n `a coefficients i.i.d.de loi uniforme sur [0

⋮ a a a ⋮ a ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ a a ⋮   a 1. Matrices particulières   Matrice nulle :  tous ses éléments a 0  Matrice carrée d’ordre n :  nombre de lignes = nombre de colonnes =      Page 1 sur 7 Matrice diagonale :  a 0 ⋮ 0 Matrice identité d’ordre   :   Matrice triangulaire supérieure :  a 0 ⋮ 0 a a a ⋯ 0 ⋯ 0 ⋱ ⋮ ⋯ a 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0   ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 1 I Matrice triangulaire inférieure :   0 a ⋮ 0 a

la matrice est dite matrice carrée. On note M n (K) au lieu de M n,n (K). 0 a 1, 1 B B a 2, 1 B . B . @ . a n,1 a 1,2 a 2,2 .. . a n,2 ... ... .. . ... 1 a 1,n C a 2,n C .. C C . A a n,n Les éléments a 1,1 , a 2,2 , . . . , a n,n forment la diagonale principale de la matrice. – Une matrice qui n’a qu’une seule ligne (n = 1) est appelée matrice ligne ou vecteur ligne. On la note ≥ ¥ A = a 1,1 a 1,2 . . . a 1,p . – De même, une matrice qui n’a qu’une seule colonne (p = 1) est appelée matrice colonne

n'est pas obligatoire. Si n = m, la matrice est appelée matrice carrée. Quelques matrices carrées particulières (Exemples avec n = 4) Matrice unité | | Parfois notée In  n est la dimension de la matrice  (soit I4 dans cet exemple) | Matrice diagonale | | notée diag(Dii) | Matrice triangulaire supérieure  (Upper triangular matrix, U) | | | Matrice triangulaire inférieure  (Lower triangular matrix, L) | | | Une matrice carrée A est dite symétrique si : Aji = Aij pour tout i différent

Différents types de matrices. a) Les matrices carrées N = p (même nombre de colonne, même nombre de ligne b) La matrice diagonale D a1,1 a1,2 a1,3a2,1 a2,2 a2,3a3,1 a3,2 a3,3 La diagonale c’est quand I = J D est une matrice carrée diagonale. c) Une matrice d’identité d’ordre I I3= 1 0 00 1 00 0 1 « 1 » sur la diagonale neutre pour le produit de matrice. I est une matrice carrée AI = IA = A d) Matrice triangulaire * Triangulaire supérieure

base sur les matrices M1 0 4 5  2 4   Exemple : A ( 2,2) =   ou B ( 3,3 ) = 3 1 6 sont des matrices carrées.  4 1  4 8 3   Dans une matrice carrée les éléments a11, a 22 , a 33 ,..., a nn sont appelés éléments diagonaux. La somme des éléments diagonaux d’une matrice carrée A est appelée la « trace de A » Par exemple pour A, la trace est de 3, pour B, la trace est de 4 1.3 Matrices égales Deux matrices A = [a ij ] et B = [b ij ] sont dites égales (A=B) si et seulement si : elles

des coefficients diagonaux. Matrices particulières : • Matrice nulle : la matrice nulle à n lignes et p colonnes est la matrice de n,p ( ) dont tous les coefficients sont nuls, celle-ci est notée On,p . Lorsque p = n, la matrice On,n est notée simplement On , c’est la matrice nulle de n ( ). • Matrice unité : la matrice unité de n ( ) est la matrice carrée de taille n, notée I n et définie par I n = (δi, j )1 i, j n , c’est à dire, I n est la matrice dont tous les coefficients diagonaux sont égaux à 1