TP5 : Etude d’une famille de fonctions. Les solutions de l’équation différentielle y  2y  ex ' x
2x

fk ( x )  e k

sont les fonctions fk définies sur R par :  ( x 1)e x .

On note Ck la courbe représentative de fk . Le but de ce TP est d’étudier les variations de fk en discutant suivant les valeurs de k, et ensuite de déterminer l’ensemble des points des courbes Ck possédant une tangente horizontale. Conjectures émises à l’aide d’un logiciel. : On peut représenter les courbes à l’aide par exemple des logiciels GeoGebra ou Sinequanon ( logiciels libres et gratuits). Avec le logiciel Geogebra, on peut représenter les fonctions fk en créant un curseur, (menu angle). Ce curseur permet de définir le paramètre k. On peut alors définir dans la barre de saisie la fonction fk . Ce logiciel calcule les fonctions dérivées d’une fonction déjà définie. (Voir Aide) Ce logiciel permet la construction de point sur un objet, de point intersection de deux objets ( intersection de deux droites, d’une droite et d’une courbe etc..) Utiliser le menu. Pour redéfinir un objet ou modifier les propriétés d’un objet , on clique à droite sur la souris après avoir sélectionné l’objet. (Cette commande est valable sur la plupart des logiciels)  Représenter des courbes Ck en faisant varier les valeurs de k. Quelle conjectures pouvez-vous émettre sur les variations des fonctions fk. ?  Comment pouvez-vous faire apparaître les points des courbes Ck possédant une tangente horizontale ?  En utilisant les propriétés de ces points, faire apparaître la trace de ces points( activer trace). Ces points semblent décrire une courbe. On cherchera à déterminer l’équation de cette courbe dans l’étude ci-dessous. Etude de la famille de fonctions. 1) Vérifier que : f k ( x )  e2x  ( x 1)ex k

f ' k ( x ) e x 2ke x  ( x  2 ) on pose alors g k ( x ) 2ke x  ( x  2 ). f' k ( x ) et g k ( x ) sont de même signe.

2) Pour k  0,  Dresser le tableau de variation de gk ( limites aux bornes