Travaux Dirigés
Module : Économétrie des séries temporelles
Série II
Exercice 1 :
Considérons les séries yt et {xt}, telles que yt est décrite par un modèle AR(1) : yt = ϕ1yt−1 + ϵt, et xt par un modèle ARMA(4,1) : xt = βxt−4 + µt + θϵt−1, où ϵt un bruit blanc, et |ϕ| < 1, |β| < 1, et |θ| < 1, pour garantir la stationnarité et l’inversibilité de yt et xt. Montrer que la variable zt définie par zt = yt + xt peut être décrite par un modèle ARMA(5,4).
� On peut écrire yt = ϕ1yt1 + ϵt, comme …afficher plus de contenu…

De la même manière, on obtient la formule générale : ρk = ϕ1ρk−1 + ϕ2ρk−2, pour k ≥ 2
Exercice 3 :
Soit, le processus AR(2) suivant : yt = α + ϕ2yt−2 + ϵt, avec α ̸= 0, |ϕ2| < 1 et ϵt un bruit blanc tel que E(ϵt) = 0, E(ϵ2t ) = σ2 pour tout t et E(ϵtϵs) = 0 pour tout t ̸= s.
En fonction des paramètres α, ϕ2 et σ2 déterminer les caractéristiques suivante de yt :
1. l’espérance de yt, qu’on notera µ,
� Avant toute chose, vérifions la stationnarité de ce processus AR(2). On peut écrire yt comme suit yt − ϕ2yt−2 = α + ϵt
(1− ϕ2L
2)yt = α + ϵt
A(L)yt = α + ϵt, notons que le polynôme A(L) = 1 − ϕ2L
2 possède comme racine ± 1√ ϕ2 . Sachant que |ϕ2| < 1, les deux racines sont à l’extérieur du cercle unité par conséquent le processus AR(2) est stationnaire.
Ainsi, pour tout t l’espérance de yt est la même. D’où …afficher plus de contenu…

Calculer les valeurs de la fonction d’autocorrélation ρ0, ρ1, ρ2, ρ3, ρ4 et ρ5
� Par définition on a ρ0 = 1 ρ1 = γ1 γ0 ρk = ϕk−1ρ1
Ainsi, on a ρ1 =
0.6715
2.245
= 0.299 ρ2 = 0.7× 0.299 = 0.2093 ρ3 = 0.73−1 × 0.299 = 0.14651 ρ4 = 0.74−1 × 0.299 = 0.1025 ρ5 = 0.75−1 × 0.299 = 0.071
46. Calculer les cinq premiers coefficients ψ0, ψ1, ψ2, ψ3 et ψ4 de la représentation MA(∞) de (Yt).
� Pour un modèle ARMA(1, 1), la représentation MA(∞) est donnée par
Yt =
∞∑
i=0 ψiat−i les coefficients ψi sont donnée par { ψ0 = 1 ψi = (ϕ+ θ)ϕj−1, j ≥ 1
Dans notre cas on a Yt = 0.7Yt−1 + at − 0.45at−1. Ainsi, ϕ = 0.7 et θ = −0.45 d’où{ ψ0 = 1 ψi = (0.7− 0.45)0.7j−1, j ≥ 1
On en déduit les valeurs des coefficients demandées ψ0 = 1 ψ1 = (0.7− 0.45) = 0.25 ψ2 = (0.7− 0.45)0.72−1 =